作业帮a,b,c,d为正实数,求证：（（a^2+b^2+c^2+d^2)/4)^(1/2)≥((abc+bcd+abd+acd)/4)^(1/3)大概是用均值不等式吧.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/09 03:58:30
a,b,c,d为正实数,求证：（（a^2+b^2+c^2+d^2)/4)^(1/2)≥((abc+bcd+abd+acd)/4)^(1/3)大概是用均值不等式吧.
a,b,c,d为正实数,求证：（（a^2+b^2+c^2+d^2)/4)^(1/2)≥((abc+bcd+abd+acd)/4)^(1/3)
大概是用均值不等式吧.
a,b,c,d为正实数,求证：（（a^2+b^2+c^2+d^2)/4)^(1/2)≥((abc+bcd+abd+acd)/4)^(1/3)大概是用均值不等式吧.
就是要证明(a^2+b^2+c^2+d^2)^3>=4(abc+bcd+abd+acd)^2
右边=(4bc(a+d)+4ad(b+c))^2/4<=((b+c)^2(a+d)+(a+d)^2(b+c))^2/4=(a+d)^2(b+c)^2*(a+b+c+d)^2/4<=2(a^2+d^2)*2(b^2+c^2)*(a+b+c+d)^2/4<=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2*(a+b+c+d)^2/4<=(a^2+b^2+c^2+d^2)^3
最后一步(a+b+c+d)^2/4<=a^2+b^2+c^2+d^2是柯西不等式的结论,不过用均值不等式也能简单得到：
((a+b)+(c+d))^2/2<=(a+b)^2+(c+d)^2<=2(a^2+b^2)+2(c^2+d^2)
由已知：用三个数的均值不等式
a^2+b^2+c^2≥3(abc)^(2/3),(a^2+b^2+c^2)
b^2+c^2+d^2≥3(bcd)^(2/3),(b^2+c^2+d^2
a^2+b^2+d^2≥3(abd)^(2/3),(a^2+b^2+d^2
a^2+c^2+d^2≥3(acd)^(2/3),(a^2+c^2+d^2
以上4式相加
3...
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由已知：用三个数的均值不等式
a^2+b^2+c^2≥3(abc)^(2/3),(a^2+b^2+c^2)
b^2+c^2+d^2≥3(bcd)^(2/3),(b^2+c^2+d^2
a^2+b^2+d^2≥3(abd)^(2/3),(a^2+b^2+d^2
a^2+c^2+d^2≥3(acd)^(2/3),(a^2+c^2+d^2
以上4式相加
3(a^2+b^2+c^2+d^2)≥3(abc^(2/3)+bcd^(2/3)+abd^(2/3)+acd^(2/3))
(a^2+b^2+c^2+d^2)/4≥(abc^(2/3)+bcd^(2/3)+abd^(2/3)+acd^(2/3))/4
[a^2+b^2+c^2+d^2)/4]^(1/2)
≥[(abc^(2/3)+bcd^(2/3)+abd^(2/3)+acd^(2/3))/4]^(1/2)
≥[(abc+bcd+abd+acd)/4]^[(1/2)*(2/3)]
=[(abc+bcd+abd+acd)/4]^(1/3)(幂平均不等式)
取等：a=b=c=d
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