数学反证已知a+b+c=0.求证ab+bc+ca不大于零.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/11 05:20:09
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数学反证已知a+b+c=0.求证ab+bc+ca不大于零.
数学反证
已知a+b+c=0.求证ab+bc+ca不大于零.
数学反证已知a+b+c=0.求证ab+bc+ca不大于零.
已知a+b+c=0,则 a=-b-c
若ab+bc+ca大于零
则(-b-c)b+bc+c(-b-c)大于零
即-b²-bc+bc-bc-c²大于零
即 -b²-2bc-c²大于零
即 -(b+c)²大于零,
∵(b+c)² >0
∴该式不成立
∴ ab+bc+ca不大于零
因为,(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
所以,ab+bc+ca=0.5×[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]
将 a+b+c=0带入式中可得
ab+bc+ca =0.5...
全部展开
因为,(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
所以,ab+bc+ca=0.5×[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]
将 a+b+c=0带入式中可得
ab+bc+ca =0.5×[(0²-(a²+b²+c²)]
=-0.5×(a²+b²+c²)
我们知道,a²≥0,b²≥0,c²≥0
所以, ab+bc+ca ≤0
收起
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
ab+bc+ca=[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]/2
=-(a²+b²+c²)/2≤0
当a=b=c=0,等号成立