如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB上运动,连接CP交y轴于点D,连接BD.过P、D、B三点作圆Q于y轴交于另一点E,延长DQ交圆Q于F,连

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB上运动,连接CP交y轴于点D,连接BD.过P、D、B三点作圆Q于y轴交于另一点E,延长DQ交圆Q于F,连
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB上运动,连接CP交y轴于点D,连接BD.过P、D、B三点作圆Q于y轴交于另一点E,延长DQ交圆Q于F,连接EF,BF.（1）当P在线段AB(不包括A,B两点)上时,求证DE=EF；(2)、请探究：点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两直角边比为2:如果存在求出此时P点坐标,如果不存在说明理由.

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB上运动,连接CP交y轴于点D,连接BD.过P、D、B三点作圆Q于y轴交于另一点E,延长DQ交圆Q于F,连

郭敦顒回答：

O为坐标原点,直线y=－x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB上运动,连接CP交y轴于点D,连接BD.过P、D、B三点作圆Q于y轴交于另一点E,延长DQ交圆Q于F,连接EF,BF.,

点A的坐标为A（0,6）,点B的坐标为B（6,0）,点C的坐标为C（－6,0）,∠DCB=∠DBC,∠PCB=∠DCB（同角）,∠OAB=∠OBA=45°,

（1）当P在线段AB(不包括A,B两点)上时,求证DE=EF；

作DGX轴交B⌒P于G,则

∠DCB= ∠PDG（平行则同位角相等）,

∠PDG=（1/2）P⌒G（圆周角）,

∵∠PDB=∠DCB+∠DBC=2∠DCB

∴2∠DCB=∠PDB=∠PDG+∠GDB

∴∠DCB=∠GDB,P⌒G=B⌒G,

连GQ交X轴GF于K,交PB于M,则GQ⊥AB,

（取DG中点N,连QN,则QN⊥DG）

∴QG的斜率k1=－1/k=1,∠GKB=45°,

∵∠QGD=∠GKB（平行则内错角相等）,∴∠QGD=45°,

∵∠QDG=∠QGD,∴∠QDG=45°

∴∠EDF=180°－45°=45°,

∵∠DEF是半圆周角,∴∠DEF=90°,

∴∠DFE=180°－45°=45°,

∴DE=EF.

(2)、请探究：点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两直角边比为2:1?如果存在求出此时P点坐标,如果不存在说明理由.

当在Rt⊿BDF中,BD：BF=2：1时,cot∠BDF=BD/BF=2/1=2

∴∠BDF=26.565°,

∴∠BDG=45°－26.565°=18.435°,∠PCB=2∠BDG=36.87°,

此时,OC：OD=4：3,6：OD=4：3,OD=18/4=9/2,

OD=9/2,点D在OA间,∴OD=9/2存在,

存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两直角边比为2：1.

点D的坐标为D（0,9/2）,

CD的直线方程按两点式有：（y－0）/（x+6）=（0－9/2）/（－6－0）=3/4,

y=（3/4）x+9/2,与y=－x+6联立得,（3/4）x+9/2=－x+6,

3x+18=－4x+24,7x=6,x=6/7,y=－x+6=36/7,

∴点P的坐标为P（6/7,36/7）.

                             Y

                              A（0,6）

                                        P

                           D        N          G

                                           M

    C（－6,0）          O           K           B（6,0）

                                                             X

                                       Q

                          E                    F

（图中未绘出圆形）

卡文迪许