作业帮一道矩形的证明题.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点O作BD的垂线,分别交AD、BC于点M、N,且MN=BN,求证：ON=CN
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 16:38:40
一道矩形的证明题.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点O作BD的垂线,分别交AD、BC于点M、N,且MN=BN,求证：ON=CN
一道矩形的证明题.
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点O作BD的垂线,分别交AD、BC于点M、N,且MN=BN,求证：ON=CN
一道矩形的证明题.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点O作BD的垂线,分别交AD、BC于点M、N,且MN=BN,求证：ON=CN
首先根据三角形全等可以证明ON=OM
又因为MN=BN
所以BN=2ON
因为∠BON=90°
所以∠OBN=30°,∠ONB=60°
易知∠OCN=∠OBN=30°
所以∠NOC=∠ONB-∠OCN=30°
所以∠NOC=∠OCN
所以ON=CN
先证三角形AMO全等于三角形CNO
得：OM＝ON，又MN垂直于BD
所以 BM＝BN
又MN=BN
所以三角形BMN是等边三角形
则角OBN＝30度，角OCN＝30度
角BOC＝120度， 角ONC＝120-90＝30
所以 ON＝NC
点O为矩形ABCD中点
∴ON=OM
∵MN=BN
∴2×ON=BN.
又∵过点O作BD的垂直线，∠BON=90°
∴∠OBN=30°∠ONB=60° ∠ONC=120°
∵O点为矩形ABCD中点
∴∠DBC=∠ADB=∠DAC=∠ACB=30°
则∠NOC=30°
∴ON=CN。
希望能给你带来帮助
连接MB,
∵四边形ABCD为矩形，AC与BD为它的对角线
∴O为AC的中点，且AD// BC，AC=DB
∴OA=OC，∠MAO=∠NCO
∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON
∵MN⊥BD
∴∠MOB=∠NOB
∴△MOB≌△NOB（SAS）
∴BM=BN，∠MBO=∠NBO
又 MN=BN
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连接MB,
∵四边形ABCD为矩形，AC与BD为它的对角线
∴O为AC的中点，且AD// BC，AC=DB
∴OA=OC，∠MAO=∠NCO
∴△MAO≌△NCO（ASA）
∴OM=ON
∵MN⊥BD
∴∠MOB=∠NOB
∴△MOB≌△NOB（SAS）
∴BM=BN，∠MBO=∠NBO
又 MN=BN
∴BM=BN=MN
∴△MBN是等边三角形
∴∠MBN=60°
又 ∠MBO=∠NBO，∠MBO+∠NBO=∠MBN
∴∠MBO=∠NBO=30°
∵AB=DC，BC=BC，AC=BD
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ACB=∠DBC=30°
∵∠ONC+∠ACB+∠NOC=180°，∠ONC=90°+30°=120°，∠NOC=30°
∴∠CON=30°
∵∠CON=∠NOC=30°
∴ON=CN
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