作业帮证明：数列 Sqrt[2] ,Sqrt[2 + Sqrt[2]] ,Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]] ,...的极限存在并求其极限题是这样的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/30 13:34:43
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题是这样的
证明：数列 Sqrt[2] ,Sqrt[2 + Sqrt[2]] ,Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]] ,...的极限存在并求其极限题是这样的
有：an=√(2+a(n-1))
∵ √2 ≤ a1 < a2 < 2
由数学归纳法：
假设：a(n-1) < an < 2
an=√(2+a(n-1)) < an+1=√(2+an) ∴ an为单调数列；
an+1=√(2+an) < √(2+2) < 2 ∴ an为有界数列,上界取2,下界取√2；
∴由单调有界原理：lim(n->∞) an 存在 ,根据极限保序性,设：
lim(n->∞) an = a >0
a = lim(n->∞) a（n+1）= lim(n->∞) √(2+an)= √（2+a）
a = √（2+a）
解得 a=2 ,a=-1 (舍）
∴ lim(n->∞) an = 2