作业帮数学难题（1） 用数学归纳法,证明对于所有正整数n,下列各命题都正确1+3+6+.n(n+1)/2=1/6 n(n+1)(n+2)1/2*5+1/5*8+1/8*11+.+1/(3n-1)(3n+2)=n/6n+41+1/1+√2+1/√2+√3+.+1/√n-1+√n=√n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/05 11:41:50
数学难题（1） 用数学归纳法,证明对于所有正整数n,下列各命题都正确1+3+6+.n(n+1)/2=1/6 n(n+1)(n+2)1/2*5+1/5*8+1/8*11+.+1/(3n-1)(3n+2)=n/6n+41+1/1+√2+1/√2+√3+.+1/√n-1+√n=√n
数学难题（1） 用数学归纳法,证明对于所有正整数n,下列各命题都正确
1+3+6+.n(n+1)/2=1/6 n(n+1)(n+2)
1/2*5+1/5*8+1/8*11+.+1/(3n-1)(3n+2)=n/6n+4
1+1/1+√2+1/√2+√3+.+1/√n-1+√n=√n
数学难题（1） 用数学归纳法,证明对于所有正整数n,下列各命题都正确1+3+6+.n(n+1)/2=1/6 n(n+1)(n+2)1/2*5+1/5*8+1/8*11+.+1/(3n-1)(3n+2)=n/6n+41+1/1+√2+1/√2+√3+.+1/√n-1+√n=√n
（1）当n=1时,左=1,右=1,左=右成立；
假设当n=k时,1+3+6+.k(k+1)/2=1/6 k(k+1)(k+2)成立；
当n=k+1时,1+3+6+.k(k+1)/2+（k+1)(k+2)/2=1/6k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)/2
=1/6(k+1)(k^2+2k+3k+6)
=1/6(k+1)(k^2+5k+6)
=1/6(k+1)(k+2)(k+3)
=右；
其余两个有问题吧!
如果使用数学归纳法的话：
第一题：
1、当n=1时，左=1，右=1，左=右成立；
2、假设当n=k（k>1）时，1+3+6+........k(k+1)/2=1/6 k(k+1)(k+2)成立；
当n=k+1时，1+3+6+........k(k+1)/2+（k+1)(k+2)/2
=1/6k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)/2<...
全部展开
如果使用数学归纳法的话：
第一题：
1、当n=1时，左=1，右=1，左=右成立；
2、假设当n=k（k>1）时，1+3+6+........k(k+1)/2=1/6 k(k+1)(k+2)成立；
当n=k+1时，1+3+6+........k(k+1)/2+（k+1)(k+2)/2
=1/6k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)/2
=1/6(k+1)(k^2+2k+3k+6)
=1/6(k+1)(k+2)(k+3)=右.
第二题：
1、当n=1时，左=1/10，右=1/10，左=右成立；
2、假设当n=k（k>1）时，1/2*5+1/5*8+1/8*11+.............+1/(3k-1)(3k+2)=k/(6k+4)成立；
当n=k+1时，
1/2*5+1/5*8+1/8*11+.............+1/(3k-1)(3k+2)+1/(3k+2)(3k+5)
= k/(6k+4)+1/(3k+2)(3k+5)
= 1/2*k/(3k+2)+1/(3k+2)(3k+5)
=1/(3k+2){ k/2+1/(3k+5) }
=1/(3k+2){ (3k^2+5k+2)/(6k+10) }
=(k+1)/(6k+10)=右。
第三题：
1、当n=1时，左=1，右=1，左=右成立；
2、假设当n=k（k>1）时，1+1/1+√2+1/√2+√3+........+1/√k-1+√k=√k成立；
当n=k+1时，
1+1/1+√2+1/√2+√3+........+1/√k-1+√k+1/√k+√k+1
=√k+1/√k+√k+1
=√k+√k+1-√k
=√k+1=右。
如果使用其他方法，会简单点的。
第二个：
由于1/(3n-1)(3n+2)= 1/3{1/(3n-1)-1/(3n+2)}
所以，左边可以分解为：
1/3{ 1/2-1/5+1/5-1/8+1/8-1/11+、、、+1/(3n-3)-1/(3n-1)+1/(3n-1)-1/(3n+1) }
=1/3{ 1/2-1/(3n+1) }
=n/(6n+4)
第三题：
因为， 1/√n-1+√n= √n-√n-1
所以，这题使用叠加法，和上题解题思路相同。
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