一道题 悬赏50分已知函数f(x)=2/2-x,记数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=f(1),当n大于等于二时,Sn-2/f(a2)=1/2(n*n+5n-2)(1)计算a1 a2 a3 a4(2)求an的通项公式并证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 05:33:06
一道题 悬赏50分已知函数f(x)=2/2-x,记数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=f(1),当n大于等于二时,Sn-2/f(a2)=1/2(n*n+5n-2)(1)计算a1 a2 a3 a4(2)求an的通项公式并证明
一道题 悬赏50分
已知函数f(x)=2/2-x,记数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=f(1),当n大于等于二时,Sn-2/f(a2)=1/2(n*n+5n-2)
(1)计算a1 a2 a3 a4
(2)求an的通项公式并证明
一道题 悬赏50分已知函数f(x)=2/2-x,记数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=f(1),当n大于等于二时,Sn-2/f(a2)=1/2(n*n+5n-2)(1)计算a1 a2 a3 a4(2)求an的通项公式并证明
(1)由已知,当n≥2时,f(an)= ,
∵Sn- ,
∴Sn- (n2+5n-2),
即Sn+an= (n2+5n+2).
又a1=f(1)=2,
由S2+a2=a1+2a2= (22+5×2+2),
得a2=3;
由S3+a3=a1+a2+2a3= (32+5×3+2),
解得a3=4;
由S4+a4=a1+a2+a3+2a4= (42+5×4+2),解得
a4=5.6分
(2)则a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想:an=n+1(n∈
N).8分
以下用数学归纳法证明:
(a)当n=1时命题成立.
(b)设n=k时,ak=k+1(k∈N).
由Sk+1+ak+1= 〔(k+1)2+5(k+1)+2〕,
a1+a2+…+ak+2ak+1= (k2+7k+8),
2ak+1= (k2+7k+8)-(2+3+…+k+1)
= (k2+7k+8)-
= (k2+7k+8-k2-3k)
=2k+4.
ak+1=(k+1)+1,
即当n=k+1时命题也成立.
故由(a)、(b)知对一切n∈N均有
an=n+1.