在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,(如图)E是棱C1D1的中点,F是侧面AA1D1D的中心.(1)求三棱锥A1-D1EF的体积;(2)求EF与底面A1B1C1D1所成的角的正切值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/12 17:48:34
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在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,(如图)E是棱C1D1的中点,F是侧面AA1D1D的中心.(1)求三棱锥A1-D1EF的体积;(2)求EF与底面A1B1C1D1所成的角的正切值
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,(如图)E是棱C1D1的中点,F是侧面AA1D1D的中心.
(1)求三棱锥A1-D1EF的体积;
(2)求EF与底面A1B1C1D1所成的角的正切值
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,(如图)E是棱C1D1的中点,F是侧面AA1D1D的中心.(1)求三棱锥A1-D1EF的体积;(2)求EF与底面A1B1C1D1所成的角的正切值
(1)因为,F为AA1DD1中心,连接A1D、AD1,交于F,A1F垂直D1F,
因为,C1D1平面AA1DD1,A1F属于平面AA1DD1,所以,A1F垂直 C1D1,即,A1F垂直D1E
所以,A1F垂直平面FD1E,AF为求三棱锥A1-D1EF底面FD1E上的高,AA1=2,
A1F=√2,ED1垂直D1F,D1E=1/2C1D1=1,D1F=√2,S三角形FD1E=1/2D1E*D1F=√2/2
V三棱锥A1-D1EF=1/3*S三角形FD1E*A1F=1/3*√2/2*√2=1/3.
(2)连接AC1,因为,E为C1D1中点.F为AD1中点,所以,EF//AC1,所以,
AC1与底面A1B1C1D1所成的角即为EF与底面A1B1C1D1所成的角,
连接A1C1,因AA1垂直平面A1B1C1D1,所以角AC1A1即为EF与底面A1B1C1D1所成的角,
AA1=2,A1C1=2√2,tan角AC1A1=2/2√2=√2/2.
所以,EF与底面A1B1C1D1所成的角的正切值为√2/2.