已知,数列{an}满足a1=1,an+1=3an +1,证明:1/a1+1/a2+…+1/an

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/24 02:53:15
已知,数列{an}满足a1=1,an+1=3an +1,证明:1/a1+1/a2+…+1/an
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已知,数列{an}满足a1=1,an+1=3an +1,证明:1/a1+1/a2+…+1/an
已知,数列{an}满足a1=1,an+1=3an +1,证明:1/a1+1/a2+…+1/an

已知,数列{an}满足a1=1,an+1=3an +1,证明:1/a1+1/a2+…+1/an

a1=1,an+1=3an +1
a(n+1)+1/2=3(an +1/2)
{an +1/2}等比
an +1/2=(a1+1/2)3^(n-1)=3^n/2
an=(3^n-1)/2
1/an=2/(3^n-1)
因3^n-1>3^(n-1)
所以2/3^n-1<2/3^(n-1)
1/a1+1/a2+…+1/an<2[1+1/3...

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a1=1,an+1=3an +1
a(n+1)+1/2=3(an +1/2)
{an +1/2}等比
an +1/2=(a1+1/2)3^(n-1)=3^n/2
an=(3^n-1)/2
1/an=2/(3^n-1)
因3^n-1>3^(n-1)
所以2/3^n-1<2/3^(n-1)
1/a1+1/a2+…+1/an<2[1+1/3+1/3^2+.....+1/3^(n-1)]=2*(1-1/3^n)/(1-1/3)=2*3/2(1-1/3^n)
=3-1/3^(n-1)<3

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