四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/29 17:34:49
四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.
四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.
四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.
取AD的中点为N,连接MN,则MN∥PA,∵PA垂直平面ABCD,∴MN垂直平面ABCD,则ABCDN是正方形,连接BN,则BN⊥AC,又MN⊥AC,∴AC⊥平面BMN,设AC∩BN=O,则∠MON就是所求二面角M-AC-D的平面角,在∟⊿MON中,MN=0.5,ON=√2/2,
∴二面角M-AC-D的正切值=√2/2.
取AD中点O,连接OM、OC、AM、MC
∵M、O分别为PA、AD中点
∴PA∥OM、AB∥OC
∴OM⊥平面ABCD
∴OM⊥AD、OM⊥OC
AM=MC=根号5/2
∴△AMC为等腰三角形,取AC中点P、连接PM
则PM垂直AC
又∵AC=CD=根号2、AD=2、∴AC⊥CD
连接OP、可知CD∥OP、∴OP⊥AC
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取AD中点O,连接OM、OC、AM、MC
∵M、O分别为PA、AD中点
∴PA∥OM、AB∥OC
∴OM⊥平面ABCD
∴OM⊥AD、OM⊥OC
AM=MC=根号5/2
∴△AMC为等腰三角形,取AC中点P、连接PM
则PM垂直AC
又∵AC=CD=根号2、AD=2、∴AC⊥CD
连接OP、可知CD∥OP、∴OP⊥AC
∴tan∠MPO即为 所求,又OM⊥OP
∴tan∠MPO=OM/OP=根号2/2
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