作业帮四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：直线PB与AC垂直；（3）求二面角A-PB-D的大小；（4）在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径；（
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 07:50:40
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：直线PB与AC垂直；（3）求二面角A-PB-D的大小；（4）在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径；（
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：直线PB与AC垂直；
（3）求二面角A-PB-D的大小；
（4）在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径；
（5）求四棱锥外接球的半径.
这道题没图的.
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：直线PB与AC垂直；（3）求二面角A-PB-D的大小；（4）在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径；（
(1)证明:
由题意
PD^2+AD^2=PA^2
所以三角形PAD是直角三角形,且∠PDA是直角
即PD⊥PA
同理,PD⊥DC
又AD∩DC=C
所以PD⊥平面ABCD
(2)证明:
连结BD交AC于O
连结MO
因为M、O分别是PC、DB的中点,
所以MO‖PB
又MO在平面AMC内
所以PB‖平面AMC
因为MO‖PB
所以∠DOA是异面直线AC与PB所成的角
由(1)可知,△PAD≌△PCD
所以AM=CM
又O是AC的中点,
所以DO⊥AC
所以∠DOA=90°
即PB⊥AC
所以异面直线AC与PB所成的角为90°
在三角形PAD中，PD=a PA==√2a AD=a 则cosPAD=cosAPD=a/√2a=√2/2 所以两角为45°
所以角PDA=180°-45°-45°=90°
同理在三角形PCD中也有角PDC=90°
因为同一平面ABCD中同时有两条相交直线CD和AD垂直于PD,
所以PD⊥平面ABCD
算了，后面不做了。
证明：(1)由PD=a，PA=PC=√2a，且底面边长为a,可知
(2)连结AC，BD，交于E点，由正方形得AC垂直于BD，又由（1）AC垂直于PD，故AC垂直于平面PDB，从而PB垂直于AC
（3）由（2）A点在平面PBD上的投影为E点，故COS二面角=三角形PEB的面积除以三角形PAB的面积=1/...
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证明：(1)由PD=a，PA=PC=√2a，且底面边长为a,可知
(2)连结AC，BD，交于E点，由正方形得AC垂直于BD，又由（1）AC垂直于PD，故AC垂直于平面PDB，从而PB垂直于AC
（3）由（2）A点在平面PBD上的投影为E点，故COS二面角=三角形PEB的面积除以三角形PAB的面积=1/2*BE*PD/（1/2*PA*AB）=1/2，从而二面角为60度
（4）（5）可用坐标系做好懂，但难算，不算了，应该还有其它方法
收起
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