在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*)1.求证数列{A(2n+1)},{A(2n)}均成等差数列并求公差2.类比上述结论,在数列{Bn}中,已知Bn×B(n+1)=2^n 请写出类似结论 并证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 16:55:41
在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*)1.求证数列{A(2n+1)},{A(2n)}均成等差数列并求公差2.类比上述结论,在数列{Bn}中,已知Bn×B(n+1)=2^n 请写出类似结论 并证明
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在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*)1.求证数列{A(2n+1)},{A(2n)}均成等差数列并求公差2.类比上述结论,在数列{Bn}中,已知Bn×B(n+1)=2^n 请写出类似结论 并证明
在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*)
1.求证数列{A(2n+1)},{A(2n)}均成等差数列并求公差
2.类比上述结论,在数列{Bn}中,已知Bn×B(n+1)=2^n 请写出类似结论 并证明

在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*)1.求证数列{A(2n+1)},{A(2n)}均成等差数列并求公差2.类比上述结论,在数列{Bn}中,已知Bn×B(n+1)=2^n 请写出类似结论 并证明
(1)证明：∵在数列{a[n]}中,已知a[n]+a[n+1]=2n (n∈N*)
∴用待定系数法,有：
a[n+1]+x(n+1)+y=-(a[n]+xn+y)
∵-2x=2,-x-2y=0
∴x=-1,y=1/2
∴a[n+1]-(n+1)+1/2=-(a[n]-n+1/2)
∴{a[n]-n+1/2}是首项为a[1]-1/2,公比为-1的等比数列
即：a[n]-n+1/2=(a[1]-1/2)(-1)^(n-1)
a[n]=(1/2-a[1])(-1)^n+n-1/2
∵2a[2n+1]=-1+2a[1]+4n+2-1=2(2n+a[1])
a[2n-1]=-1/2+a[1]+2n-1-1/2=2n+a[1]-2
a[2n+3]=-1/2+a[1]+2n+3-1/2=2n+a[1]+2
∴2a[2n+1]=a[2n-1]+a[2n+3]
公差=(a[2n+3]-a[2n-1])/2=2
∵2a[2n]=1-2a[1]+4n-1=2(2n-a[1])
a[2n-2]=1/2-a[1]+2n-2-1/2=2n-a[1]-2
a[2n+2]=1/2-a[1]+2n+2-1/2=2n-a[1]+2
∴2a[2n]=a[2n-2]+a[2n+2]
公差=(a[2n+2]-a[2n-2])/2=2
综上所述：数列{a[2n+1]},{a[2n]}均成等差数列,并且公差均为2
(2)∵在数列{b[n]}中,已知b[n]b[n+1]=2^n (n∈N*)
∴类比上述结论,有：{b[2n+1]},{b[2n]}均成等比数列,并求公比
证明：∵在数列{b[n]}中,已知b[n]b[n+1]=2^n (n∈N*)
∴lnb[n]+lnb[n+1]=nln2
用待定系数法,有：
lnb[n+1]+x(n+1)+y=-(lnb[n]+xn+y)
∵-2x=ln2,-x-2y=0
∴x=-ln2/2,y=ln2/4
∴lnb[n+1]-(n+1)ln2/2+ln2/4=-(lnb[n]-nln2/2+ln2/4)
∴{lnb[n]-nln2/2+ln2/4}是首项为lnb[1]-ln2/4,公比为-1的等比数列
即：lnb[n]-nln2/2+ln2/4=(lnb[1]-ln2/4)(-1)^(n-1)
∴b[n]=e^{(ln2/4-lnb[1])(-1)^n+nln2/2-ln2/4}
∵b[2n+1]^2=e^{2(lnb[1]-ln2/4+nln2+ln2/2-ln2/4)}=e^{2(nln2+lnb[1])}
b[2n-1]=e^(lnb[1]-ln2/4+nln2-ln2/2-ln2/4)=e^(nln2+lnb[1]-ln2)
b[2n+3]=e^(lnb[1]-ln2/4+nln2+3ln2/2-ln2/4)=e^(nln2+lnb[1]+ln2)
∴b[2n+1]^2=b[2n-1]b[2n+3]
公比=√(b[2n+3]/b[2n-1])=2
∵b[2n]^2=e^{2(ln2/4-lnb[1]+nln2-ln2/4)}=e^{2(nln2-lnb[1])}
b[2n-2]=e^(ln2/4-lnb[1]+nln2-ln2-ln2/4)=e^(nln2-lnb[1]-ln2)
b[2n+2]=e^(ln2/4-lnb[1]+nln2+ln2-ln2/4)=e^(nln2-lnb[1]+ln2)
∴b[2n]^2=b[2n-2]b[2n+2]
公比=√(b[2n+2]/b[2n-2])=2
综上所述：数列{b[2n+1]},{b[2n]}均成等比数列,并且公比均为2

高二数列

已知在数列An中,A1=2 A(n+1)=An+n 求An的通项公式 已知数列｛an｝中,a(n+1)=an+2^n,a1=3,求an 已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an 已知在数列｛An}中A(n+1)=An/3An+1,A9=1/9,求A2009=? 已知在数列{an}中,a1=2,an=3a[(n-1)](下标）-2,求an 在数列an中,已知a1=-1,(an+1)*an=(an+1)-an(n均为下标),则数列an的通项an= 在数列｛an｝中,a1=3,a(n+1)=an+n,求an 数学数列题、急数学题 在数列｛An｝.｛Bn｝中已知A(n+1)=2An+K Bn=A(n+1)-An求证{Bn}为等比数列 已知在正项数列｛An｝中,对于一切n∈N*均有An²≦An-A(n+1成立) ①证明:数列已知在正项数列｛An｝中,对于一切n∈N*均有An²≦An-A(n+1成立) ①证明:数列｛An｝中的任意一项都小于1.②探究｛A 求解一道数列题 已知在数列{an}中,a₁=2,an+₁=an-In(n/n=1),an=?已知在数列{an}中,a₁=2,an+₁=an-In(n/n=1),an=?其中n,n-1是下标 在数列{an}中,已知a1=1,a(n+1)=2an/(an+2),求数列{anan+1}的前n项和 在数列[an]中,已知a2=12,a(n+1)-an=2(n>=1) (1)求a1 (2)求数列[an]的前五项和S5 在数列An中 已知A1=-1 A(n+1)=Sn+3n-1求An 在数列{an}中,已知an=n²-n+1,n∈N*,则an+1=_____ 在数列{an}中.a1=3且a(n+1)=an^2,求an 已知在数列an中 a1=1,a(n+1)=3an/an+2 球该数列通项公式---有陷阱啊 已知数列｛an｝中,an=n/n+1,判断数列｛an｝的增减性 已知数列{An}中,A1=1,A(n+1)=An/(1+2An),求An