作业帮已知函数f(x)=2lnx-x^2 若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等的实根,求实数m的取值范围.e为自然对数的底
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 02:24:21
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已知函数f(x)=2lnx-x^2 若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等的实根,求实数m的取值范围.e为自然对数的底
已知函数f(x)=2lnx-x^2 若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等的实根,求实数m的取值范围.e为自然对数的底
已知函数f(x)=2lnx-x^2 若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等的实根,求实数m的取值范围.e为自然对数的底
m的范围是大于1小于等于（1/e）^2+2
f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等的实根
即 m = -f(x)=x^2 - 2lnx 在[1/e,e]内有两个不等的实根
令 g(x) = x^2 - 2lnx 则g'(x) = 2*(x+1)*(x-1)/x
令g'(x)=0 得 x= -1 x= 1
所以 在[1/e,1]内 g(x)单调减 在[1 ,e]内g(x)单调增
而g(1)=1 g(1/e)=（1/e）^2+2 < g(e)=e^2 + 2
所以m应大于G(1)小于等于g(1/e)
即m的范围是大于1小于等于（1/e）^2+2
f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
则
x^2-2lnx-m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
令g(x)=x^2-2lnx-m
则
g(x)'=2x-2/x=2(x^2-1)/x
即g(x)在x=-1和x=1处有拐点，
当x＜-1时，lnx不存在，所以舍去；
当-1＜x＜1时,因是在[1/e,e]内，所...
全部展开
f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
则
x^2-2lnx-m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
令g(x)=x^2-2lnx-m
则
g(x)'=2x-2/x=2(x^2-1)/x
即g(x)在x=-1和x=1处有拐点，
当x＜-1时，lnx不存在，所以舍去；
当-1＜x＜1时,因是在[1/e,e]内，所以在1/e＜x＜1内，g(x)'＜0，即g(x)在1/e＜x＜1内单调递减；
当x＞1时，g(x)'＞0，即g(x)在1＜x＜e时单调递增。
又
g(1/e)=1/e^2+2-m
g(1)=1-m
g(e)=e^2-2-m
所以要使g(x)有两个不相等的实根，就要
g(1)=1-m＞0，且g(1/e)=1/e^2+2-m＜0，g(e)=e^2-2-m＜0
或
g(1)=1-m＜0，且g(1/e)=1/e^2+2-m＞0，g(e)=e^2-2-m＞0
所以
m＜1，m＞1/e^2+2，m＞e^2-2
或
m＞1，m＜1/e^2+2，m＜e^2-2
所以
第一组舍去，只有
m＞1，m＜1/e^2+2，m＜e^2-2
所以
1＜m＜1/e^2+2。
收起