作业帮泰勒公式求各种三角函数,如sin,cos,tan,cot最好说明一下泰勒公式怎么推导出来的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 20:43:03
泰勒公式求各种三角函数,如sin,cos,tan,cot最好说明一下泰勒公式怎么推导出来的
泰勒公式求各种三角函数,如sin,cos,tan,cot
最好说明一下泰勒公式怎么推导出来的
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泰勒公式（Taylor's formula）
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn(x)
其中Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1)!*(x-x.)^(n+1）,这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
证明
泰勒公式在x=a处展开为
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数,得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导,得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数,从而可以进行近似计算,也可以计算极限值,等等.
另外,一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间.
泰勒公式求各种三角函数,如sin,cosx,tanx,cotx
展开三角函数y=sinx和y=cosx.
根据导数表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……
于是得出了周期规律.分别算出f(0)=0,f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了.）
类似地,可以展开y=cosx.
给你结论吧
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(-∞