已知θ∈(0,π/2).求证sinθ

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/20 02:20:28
已知θ∈(0,π/2).求证sinθ
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已知θ∈(0,π/2).求证sinθ
已知θ∈(0,π/2).求证sinθ<θ

已知θ∈(0,π/2).求证sinθ
在直角坐标系中做半径为r的圆,与x正半轴交于A,与y正半轴交于B
θ终边OP在OA与OB之间,做PC⊥OA于C
连接PA,则PC<PA【直线外一点到直线垂线距离最短】,PA<弧PA【两点间直线距离最短】
∴PC<弧PA
∴PC/OP<弧AP/OP
sinθ=PC/OP,θ=弧AP/OP
∴sinθ<θ
过A做OA垂线,与OP的延长线交于D
S△OAD=1/2OA*AD,S扇形OAP=1/2弧AP*OA
S△OAD>S扇形OAP
1/2OA*AD>1/2弧AP*OA
∴AD>弧AP
θ=弧AP/OA,tanθ=AD/OA
∴θ<tanθ
∴sinθ<θ

可用导数。
设 f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx≥0,f(x)是增函数,从而 当θ>0时,有f(θ)>f(0),
即 θ-sinθ>0, θ>sinθ
另一半可类似地证明。
若未学过导数,可用单位圆中的三角函数线证明。参考:
http://zhidao.baidu.com/question/340360007.html?oldq