在三角形ABC中,对边分别是a、b、c,若三角形ABC的面积为S,且2S=(a+b)^2-c^2,求tanC的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 05:50:04
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在三角形ABC中,对边分别是a、b、c,若三角形ABC的面积为S,且2S=(a+b)^2-c^2,求tanC的值
在三角形ABC中,对边分别是a、b、c,若三角形ABC的面积为S,且2S=(a+b)^2-c^2,求tanC的值
在三角形ABC中,对边分别是a、b、c,若三角形ABC的面积为S,且2S=(a+b)^2-c^2,求tanC的值
S=absinC/2
c^2=a^2+b^2-2abcosC
代入2S=(a+b)^2-c^2
得absinC=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2-2abcosC)=2ab+2abcosC
sinC=2+2cosC
代入(sinC)^2+(cosC)^2=1
4+8cosC+4(cosC)^2+(cosC)^2=1
5(cosC)^2+8cosC+3=0
(5cosC+3)(cosC+1)=0
C是三角形内角
所以cosC=-1不成立
所以cosC=-3/5
三角形内角则sinC>0
所以sinC=4/5
所以tanC=sinC/cosC=-4/3
因S=1/2*absinC,所以2S=absinC.
所以,absinC=(a+b)^2-c^2=a^2+b^2-c^2+2ab.
所以,sinC= (a^2+b^2-c^2)/ab+(2ab)/ab=( a^2+b^2-c^2)/ab+2.
由余弦定理知,cosC=( a^2+b^2-c^2)/2ab,所以,2cosC=( a^2+b^2-c^2)/ab.
全部展开
因S=1/2*absinC,所以2S=absinC.
所以,absinC=(a+b)^2-c^2=a^2+b^2-c^2+2ab.
所以,sinC= (a^2+b^2-c^2)/ab+(2ab)/ab=( a^2+b^2-c^2)/ab+2.
由余弦定理知,cosC=( a^2+b^2-c^2)/2ab,所以,2cosC=( a^2+b^2-c^2)/ab.
所以,sinC=2cosC+2,两边都除以cosC得:tanC=2+2sec=2+2√(1+tan^2C),
即tanC=2+2√(1+tan^2C),
tanC-2=2√(1+tan^2C),两边平方并化简得:tanC(3tanC+2)=0.
因tanC≠0,所以有3tanC+2=0,tanc=-2/3.
收起
S=1/2ab*sinC
原式:ab*sinC=(a+b)^2-c^2=a^2+b^2+2ab-c^2=(a^2+b^2-c^2)+2ab
推出(a^2+b^2+c^2)=absinC-2ab=ab(sinC-2)
又根据余弦定理:c^2=a^2+b^2-2abcosC
推出2ab*cosC=(a^2+b^2-c^2)
所以2abcosC=ab(sinC...
全部展开
S=1/2ab*sinC
原式:ab*sinC=(a+b)^2-c^2=a^2+b^2+2ab-c^2=(a^2+b^2-c^2)+2ab
推出(a^2+b^2+c^2)=absinC-2ab=ab(sinC-2)
又根据余弦定理:c^2=a^2+b^2-2abcosC
推出2ab*cosC=(a^2+b^2-c^2)
所以2abcosC=ab(sinC-2)推出2cosC=sinC-2
又因为sin^2C+cos^2C=1 联立两方程
得到5cos^2C+8cosC+3=0 (5cosC+3)(cosC+1)=0
所以解为cosC=-3/5 或cosC=-1
又因为在三角形中 0°<角C<180°
所以cosC=-3/5 sinC=4/5
所以tanC=-4/3
收起
由海伦公式有 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=16S²=4[(a+b)²-c²]², c²-(a-b)²=4(a+b)²-4c²,即 c²=a²+b²+(6/5)ab,而由余弦定理有 c²=a²+b²-2ab*cosC,得 cosC=-3/5,tanC=-4/3 。