已知a、b、c是非零实数,且a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值

已知a、b、c是非零实数,且a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值
已知a、b、c是非零实数,且a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值

已知a、b、c是非零实数,且a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值
a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3
a(1/b+1/c)+1+b(1/c+1/a)+1+c(1/a+1/b)+1=-3+3
a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)=0
(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=0
a+b+c=0
或1/a+1/b+1/c=0
(bc+ac+ab)/(abc)=0
ab+ac+bc=0
a^2+b^2+c^2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1+0
(a+b+c)^2=1
a+b+c=1或-1
综上所述a+b+c=0或1或-1

∵a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3，∴a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b=-3。
∴(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c=-3，∴(a+b+c)/a﹣1+(a+b+c)/b﹣1+(a+b+c)/c﹣1=﹣3。
∴(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c=0。∴(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0。...

全部展开

∵a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3，∴a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b=-3。
∴(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c=-3，∴(a+b+c)/a﹣1+(a+b+c)/b﹣1+(a+b+c)/c﹣1=﹣3。
∴(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c=0。∴(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0。
∴(a+b+c)=0 或 (1/a+1/b+1/c)=0。
若a+b+c≠0，则必 1/a+1/b+1/c=0。∵abc≠0，∴两边乘以abc得，bc+ac+ab=0。
而此时 (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(bc+ac+ab)=1，∴a+b+c=±1。
综上所述得(a+b+c)=0 或(a+b+c)=1或(a+b+c)=-1。

收起