两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 15:01:06
两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
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两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
两角和的正弦与余弦公式：
（1） sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（2） cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
教材的思路是在直角坐标系的单位圆中,
根据两点间的距离公式推导：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
再用诱导公式证明：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
如图所示：∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α.
则B（cosβ,-sinβ）；D（1,0）；A（cosα,sinα）；C[cos（α+β）,sin（α+β）].
∵ OA=OB=OC=OD=1
∴ CD=AB.
∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；
=cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；
=2-2 cos（α+β）.
AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β；
=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ].
∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ].
∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ
∴ sin（α+β）= cos（90°-α-β）
=cos[（90°-α）+（-β）]
=cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ

画个图四分之一圆，角度表示有a;b;a+b，然后就用三角形来推导
这个推导只有自己画图才能比较好的理解，在这里不好描述的

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