设a,b,c是三个实数,且1\a+1\b+1\c=1\(a+b+c)=1,证明:a,b,c中至少有一个等于1

设a,b,c是三个实数,且1\a+1\b+1\c=1\(a+b+c)=1,证明:a,b,c中至少有一个等于1
设a,b,c是三个实数,且1\a+1\b+1\c=1\(a+b+c)=1,证明:a,b,c中至少有一个等于1

设a,b,c是三个实数,且1\a+1\b+1\c=1\(a+b+c)=1,证明:a,b,c中至少有一个等于1
1/a+1/b+1/c=1
通分：
(ab+bc+ca)/abc=1
∴ab+bc+ca=abc
∴ab+bc+ca-abc=0
=ab+bc+ca-a-b-c-abc+a+b+c
=ab+bc+ca-a-b-c-abc+1
=1-a+(ab+bc+ca-b-c-abc)
=1-a+[b(a-1)+c(a-1)-bc(a-1)]
=(1-a)(1-b-c+bc)
=(1-a)(1-b)(1-c)
=0
∴a,b,c中至少有一个等于1

∵1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)，通分化简：∴abc=(a+b+c)²≥0。
也就是说，a、b、c至少有一个数不小于零！
∵如果：a＜0，b＜0，c＜0，则abc＜0。
∴要满足条件，至少有1个数要不小于零。

由1/a＋1/b＋1/c＝1得：
ab＋ac＋bc＝abc
∴abc－ab－ac－bc＝0
再由1/(a＋b＋c)＝1得：
a＋b＋c＝1
而(a－1)(b－1)(c－1)
＝abc－ab－ac－bc＋a＋b＋c－1
＝0
∴a－1、b－1、c－1中至少有一个等于0
即a、b、c中至少有一个等于1