已知AE是三角形ABC的中线,AD是BC边上的高.求证:AB的平方-AC的平方=2BC×ED

已知AE是三角形ABC的中线,AD是BC边上的高.求证:AB的平方-AC的平方=2BC×ED
已知AE是三角形ABC的中线,AD是BC边上的高.求证:AB的平方-AC的平方=2BC×ED

已知AE是三角形ABC的中线,AD是BC边上的高.求证:AB的平方-AC的平方=2BC×ED
证明：
根据勾股定理
AB²=AD²+BD²
AC²=AD²+CD²
AB²-AC²
=BD²-CD²
=(BD+CD)(BD-CD)
=BC*[(BE+DE)-(CE-DE)]
=BC*(2*DE)
=2*BC*DE

因为AD是BC上的高，所以AB的平方-BD的平方=AC的平方-DC的平方
即AB的平方-AC的平方=BD的平方-DC的平方
等式左边已经出现，现在只要验证BD的平方-DC的平方=2BC*ED即可
BD的平方-DC的平方=（BC-CD）的平方-DC的平方=BC的平方-2BC*CD=BC*(BC-2CD)=BC*(BD+CD-2CD)=BC*(BD-CD)=BC*...

全部展开

因为AD是BC上的高，所以AB的平方-BD的平方=AC的平方-DC的平方
即AB的平方-AC的平方=BD的平方-DC的平方
等式左边已经出现，现在只要验证BD的平方-DC的平方=2BC*ED即可
BD的平方-DC的平方=（BC-CD）的平方-DC的平方=BC的平方-2BC*CD=BC*(BC-2CD)=BC*(BD+CD-2CD)=BC*(BD-CD)=BC*(BE+DE-CD) 因为AE为中线
所以BE=EC=ED+CD 所以BC*(ED+CD+DE-CD)=2BC*ED

所以BD的平方-DC的平方=2BC*ED
所以综合以上 AB的平方-AC的平方=2BC*ED

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