作业帮已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√（4a+1）+√(ab+1)+√(4c+1)＜k恒成立?如果存在,求出k的范围我要是知道一楼的那个不等式还做什么，能不能来个人证一下？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/17 03:43:28
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√（4a+1）+√(ab+1)+√(4c+1)＜k恒成立?如果存在,求出k的范围我要是知道一楼的那个不等式还做什么，能不能来个人证一下？
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√（4a+1）+√(ab+1)+√(4c+1)＜k恒成立?
如果存在,求出k的范围
我要是知道一楼的那个不等式还做什么，能不能来个人证一下？
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√（4a+1）+√(ab+1)+√(4c+1)＜k恒成立?如果存在,求出k的范围我要是知道一楼的那个不等式还做什么，能不能来个人证一下？
柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
■②用n维向量来证.
标注：这里的m,n是指代的向量m,向量n
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=|m||n|cos=(a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)*(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)*cos
因为cos小于等于1,所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法．
用柯西不等式
[√（4a+1）+√(ab+1)+√(4c+1)]^2≤(1+1+1)（4a+4b+4c+3）=21
故原式≤√21
即k取 √21