作业帮已知abc 均为正实数 且a+b+c=1 求根号（a+1）+根号(b+1)+根号(c+1)的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 22:37:45
已知abc 均为正实数 且a+b+c=1 求根号（a+1）+根号(b+1)+根号(c+1)的最大值
已知abc 均为正实数 且a+b+c=1 求根号（a+1）+根号(b+1)+根号(c+1)的最大值
已知abc 均为正实数 且a+b+c=1 求根号（a+1）+根号(b+1)+根号(c+1)的最大值
∵
2√(a+1)·√(b+1)≤a+b+2,
2√(b+1)·√(c+1)≤b+c+2,
2√(c+1)·√(a+1)≤c+a+2,
相加,左边≤8,
∴[√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)]^2
=a+b+c+3+2√(a+1)·√(b+1)+2√(b+1)·√(c+1)+2√(c+1)·√(a+1)
≤4+8=12,
∴最大值=2√3.
呵呵,朋友,这种题我教你个小绝窍!绝对正确,让a,b,c都取相等的值,也就是都是三分之一!直接代入结果,答案是:2倍根号3(不好意思,手机打不出根号),这种题一般就是选择填空,按我的方法做绝对错不了!如果是大题的话,就麻烦啦,我说大概解法吧:把问题的式子平方,得到的式子里肯定有a+b+c和abc,前者已知得1,后者可知最大值得1/27,最后得的结果再开方就是我说的2倍根号3!希望对你有帮助!...
全部展开
呵呵,朋友,这种题我教你个小绝窍!绝对正确,让a,b,c都取相等的值,也就是都是三分之一!直接代入结果,答案是:2倍根号3(不好意思,手机打不出根号),这种题一般就是选择填空,按我的方法做绝对错不了!如果是大题的话,就麻烦啦,我说大概解法吧:把问题的式子平方,得到的式子里肯定有a+b+c和abc,前者已知得1,后者可知最大值得1/27,最后得的结果再开方就是我说的2倍根号3!希望对你有帮助!
收起
[√(a+1) + √(b+1) + √(c+1)]²
=a+b+c+3+2[√(ab+a+b+1) +√(bc+b+c+1) +√(ac+a+c+1) ]
因为abc 均为正实数，所以（√a-√b)²≥0
∴√ab≤（a+b)/2
那么(ab+a+b+1)≤（a+b)²/4 +(a+b) +1
≤[(a+b）/2 +1]&s...
全部展开
[√(a+1) + √(b+1) + √(c+1)]²
=a+b+c+3+2[√(ab+a+b+1) +√(bc+b+c+1) +√(ac+a+c+1) ]
因为abc 均为正实数，所以（√a-√b)²≥0
∴√ab≤（a+b)/2
那么(ab+a+b+1)≤（a+b)²/4 +(a+b) +1
≤[(a+b）/2 +1]²
√(ab+a+b+1) ≤（a+b）/2 +1
同理√(bc+b+c+1)≤（c+b）/2 +1
√(ac+a+c+1)≤（a+c）/2 +1
所以[√(a+1) + √(b+1) + √(c+1)]²≤12
√(a+1) + √(b+1) + √(c+1)≤2√3
收起
(1)预备知识。柯西不等式：设a,b,c,x,y,z均为非0实数，则[a^2+b^2c^2]*[x^2+y^2+z^2]≥(ax+by+cz)^2.等号仅当a:x=b:y=c:z时取得。（2）由题设知：{[√(a+1)]^2+[√(b+1)]^2+[√(c+1)]^2}*(1^2+1^2+1^2)≥[√(a+1)+√（b+1）+√（c+1)]^2.即：[√(a+1)+√（b+1)+（c+1)]^2...
全部展开
(1)预备知识。柯西不等式：设a,b,c,x,y,z均为非0实数，则[a^2+b^2c^2]*[x^2+y^2+z^2]≥(ax+by+cz)^2.等号仅当a:x=b:y=c:z时取得。（2）由题设知：{[√(a+1)]^2+[√(b+1)]^2+[√(c+1)]^2}*(1^2+1^2+1^2)≥[√(a+1)+√（b+1）+√（c+1)]^2.即：[√(a+1)+√（b+1)+（c+1)]^2≤12.等号仅当a=b=c=1/3时取得。故[√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)]max=2√3.
收起