作业帮f(x)在【0,1】上连续,f(0)=f(1),证明：对自然数n>=2有 m属于（0,1）,使f（m）=f（m+1/n）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/09/17 14:37:54
f(x)在【0,1】上连续,f(0)=f(1),证明：对自然数n>=2有 m属于（0,1）,使f（m）=f（m+1/n）
f(x)在【0,1】上连续,f(0)=f(1),证明：对自然数n>=2有 m属于（0,1）,使f（m）=f（m+1/n）
f(x)在【0,1】上连续,f(0)=f(1),证明：对自然数n>=2有 m属于（0,1）,使f（m）=f（m+1/n）
对不起对不起这几天忘了上百度,就这么说吧.
设g(x)=f(x+1/n)-f(x)
则显然g(x)在[0,1-1/n]上连续
且有g(0)+g(1/n)+g(2/n)+……+g(1-1/n)=f(1)-f(0)=0
如果g(0),……,g(1-1/n)都是0,那么令m=1/n满足题意
如果有g(a)不是0,不妨设它大于0
那么至少还有一个g(b)小于0
由连续函数的介值定理,存在m属于(a,b)包含于(0,1)满足题意
完了
我也来凑个热闹吧。
证明：
用反证法。
我们假设对某个确定的自然数k(k≥2),这样的m不存在。
从而若令
g(x)=f(x+ 1/k)-f(x) x∈[0,1- 1/k]
则g(x)在[0,1- 1/k]没有零点。
但因为显然有g(x)在[0,1- 1/k]上连续
所以必有g(x)在[0,1- 1/k]上恒大于零或者恒小于零。
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我也来凑个热闹吧。
证明：
用反证法。
我们假设对某个确定的自然数k(k≥2),这样的m不存在。
从而若令
g(x)=f(x+ 1/k)-f(x) x∈[0,1- 1/k]
则g(x)在[0,1- 1/k]没有零点。
但因为显然有g(x)在[0,1- 1/k]上连续
所以必有g(x)在[0,1- 1/k]上恒大于零或者恒小于零。
无妨设g(x)在[0,1- 1/k]上恒大于零
于是g(0)＞0，g(1/k)＞0，g(2/k)＞0，…g(1- 1/k)＞0，
此即f(1/k)-f(0)＞0，f(2/k)-f(1/k)＞0，f(3/k)-f(2)＞0，…f(1)-f(1- 1/k)＞0
从而有
f(0)＜f(1/k)＜f(2/k)＜f(3/k)＜…＜f(1 -1/k)＜f(1)
即f(0)＜f(1)
这与已知的f(0)=f(1)是矛盾的。故原结论成立。证完。
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