若函数f(x)=cx/2x+3(x不等于3/-2) 满足f[f(x)]=x,求常数c的值

若函数f(x)=cx/2x+3(x不等于3/-2) 满足f[f(x)]=x,求常数c的值
若函数f(x)=cx/2x+3(x不等于3/-2) 满足f[f(x)]=x,求常数c的值

若函数f(x)=cx/2x+3(x不等于3/-2) 满足f[f(x)]=x,求常数c的值
f[f(x)]=x f(x)=2x+3/cx 换个未知数看f(a)=2a+3/ca
把f(x)看成一个未知数a 则是a=2x+3/cx
在函数f(a)=2a+3/ca中 f(a)=2(2x+3/cx)+3/c(2x+3/cx)
也是f[f(x)]=2(2x+3/cx)+3/c(2x+3/cx)
已知f[f(x)]=x 所以 x=4x+6/cx+6/cx+9/c²x
化简得 c²+4c+3=0
(c+3)(c+1)=0
所以 c=-3 或 c=-1
因为x=3/-2 当c=-3时 f(x)=2x+3/cx成立
当c=-1时 f(x)=2x+3/cx不成立
而要求x不能等于-2/3 所以c只能取值为-3.即c=-3

f(f(x))
=c[cx/(2x+3)]/{2[cx/(2x+3)]+3}
上下乘2x+3
=c^2x/[2cx+3(2x+3)]
=c^2x/[(2c+6)x+9]
=x
所以c^2=(2c+6)x+9
(2c+6)x=c^2-9
此式当x≠-3/2时恒成立
所以2c+6=c^2-9=0
所以c=-3