已知函数f(x)=x²-alnx(a>0) (1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程已知函数f(x)=x²-alnx(a>0)(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程(2)讨论函数f(x)在区
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/15 05:33:24
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已知函数f(x)=x²-alnx(a>0) (1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程已知函数f(x)=x²-alnx(a>0)(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程(2)讨论函数f(x)在区
已知函数f(x)=x²-alnx(a>0) (1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程
已知函数f(x)=x²-alnx(a>0)
(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程
(2)讨论函数f(x)在区间(1,e的a次方)上零点的个数(e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=x²-alnx(a>0) (1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程已知函数f(x)=x²-alnx(a>0)(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程(2)讨论函数f(x)在区
【绝对正确】
(Ⅰ)当a=3时,f(x)=x2-3lnx,
∴f'(x)=2x-3x(1分)
∴fˊ(1)=-1
又∵f(1)=1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1).
即x+y-2=0.--------------------------------3分
(Ⅱ)(1)下面先证明:ea>a(a≥0).
设g(a)=ea-a(a≥0),则g′(a)=ea-1≥e0-1=0(a≥0),且仅当g′(a)=0⇔a=0,
所以g(a)在[0,+∞)上是增函数,故g(a)≥g(0)=1>0.
所以ea-a>0,即ea>a(a≥0).------------------------------5分
(2)因为f(x)=x2-a lnx,
所以f′(x)=2x-ax=2x2-ax=2(x-
2a2)(x+
2a2) x.
因为当0<x<2a2时,fˊ(x)<0,当x>2a2时,1,fˊ(x)>0.
又a2<a<ea<e2a(a≥0,a<2a)⇒2a2<ea,
所以f(x)在(0,2a2]上是减函数,在[2a2,+∞)是增函数.
所以f(x)min=f(2a2)=a2(1-ln
a2).------------------------------9分
(3)下面讨论函数f(x)的零点情况.
①当a2(1-ln
a2)>0,即0<a<2e时,函数f(x)在(1,ea)上无零点;
②当a2(1-ln
a2)=0,即a=2e时,2a2=e,则1<2a2<ea
而f(1)=1>0,f(2a2)=0,f(ea)>0,
∴f(x)在(1,ea)上有一个零点;
③当a2(1-ln
a2)<0,即a>2e时,ea>2a2>e>1,
由于f(1)=1>0,f(2a2)=a2(1-ln
a2)<0.
f(ea)=e2a-a lnea=e2a-a2=(ea-a)(ea+a)>0,
所以,函数f(x)在(1,ea)上有两个零点.(13分)
综上所述,f(x)在(1,ea)上有结论:
当0<a<2e时,函数f(x)有、无零点;
a=2e时,函数f(x)有一个零点;
当a>2e时,函数f(x)有两个零点.------------------------------14分.
(1)对f(x)求导 f'(x)=2x-a/x=2x-3/x;
(2)令f'(x)=0,分析其单调性。