求方程组8x-y-z=16 x²+y²+z²=1990 的正整数解

求方程组8x-y-z=16 x²+y²+z²=1990 的正整数解
求方程组8x-y-z=16 x²+y²+z²=1990 的正整数解

求方程组8x-y-z=16 x²+y²+z²=1990 的正整数解
方法一：1990＝199*2*5,显然x y z不能有公约数
第一式看y z同奇或者同偶,第二式看x是偶数,且1990不是4倍数,所以y z都是奇数
x^2 y^2 z^2除以10的余数0 1 4 9 6 5任取3个（可重复）作和个位得0只有(且x y z没有公约数)
019、451 与659
由于对称性,不妨设x是偶数,y是个位是5或1
设x=10X, y=10Y+1,z=10Z+9则80X-10Y-10Z=26无解
设x=10X+4,y=10Y+5,z=10Y+1则8X-Y-Z＝-1无解（奇偶性）
设x=10X+6,y=10Y+5,z=10Y+9则80X-10Y-10Z＝-18无解
答案无解

方法二：
由此想到可能有更简单的分析：
第一式看y z同奇或者同偶,第二式看x是偶数,且1990不是4倍数,所以y z都是奇数
所以左边是8倍数加2
右边是8倍数+6
所以无解

方程式一得：x=2+（y+z）/8、故y+z为偶数；且是8 的倍数
方程式二得：1990的平方根为44.6故X+Y+Z小于44；
故Y、Z或（Y+Z）只有8、16、24、32、40
如果Y、Z只有8、16、24、32、40则：
设Y=8、Z=32；则X=7，那么：x²+y²+z²=49+64+1024=1134
设Y=16、Z=...

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方程式一得：x=2+（y+z）/8、故y+z为偶数；且是8 的倍数
方程式二得：1990的平方根为44.6故X+Y+Z小于44；
故Y、Z或（Y+Z）只有8、16、24、32、40
如果Y、Z只有8、16、24、32、40则：
设Y=8、Z=32；则X=7，那么：x²+y²+z²=49+64+1024=1134
设Y=16、Z=32；则X=8，那么：x²+y²+z²=64+256+1024=1344
设Y=24、Z=32；则X=9，那么：x²+y²+z²=81+576+1024=1681
设Y=32、Z=32；则X=10，那么：x²+y²+z²=100+1024+1024=2248
设Y=8、Z=40；则X=8，那么：x²+y²+z²=64+64+1600=1728
设Y=16、Z=40；则X=9，那么：x²+y²+z²=81+256+1600=1937
设Y=24、Z=40；则X=10，那么：x²+y²+z²=100+576+1600=2276
设Y=24、Z=24；则X=8，那么：x²+y²+z²=64+576+576=1216
方程式一得：x=2+（y+z）/8、故y+z为偶数；且是8 的倍数
方程式二得：X+Y+Z小于44；故Y+Z只有8、16、24、32、40
如果X+Y=40则：
设Y=1、Z=39；则X=7，那么：x²+y²+z²=49+1+1521=1571
设Y=2、Z=38；则X=7，那么：x²+y²+z²=49+4+1444=1497
故本题无解！！

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