定义域为（0,+∞）的单调函数f(x),对于任意x∈(0,+∞),有f[f(x)+log1/2(x)]=3,则 f(x)=2+x^1/2有几个解?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 19:14:37
定义域为（0,+∞）的单调函数f(x),对于任意x∈(0,+∞),有f[f(x)+log1/2(x)]=3,则 f(x)=2+x^1/2有几个解?
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定义域为（0,+∞）的单调函数f(x),对于任意x∈(0,+∞),有f[f(x)+log1/2(x)]=3,则 f(x)=2+x^1/2有几个解?
定义域为（0,+∞）的单调函数f(x),对于任意x∈(0,+∞),有f[f(x)+log1/2(x)]=3,则 f(x)=2+x^1/2有几个解?

定义域为（0,+∞）的单调函数f(x),对于任意x∈(0,+∞),有f[f(x)+log1/2(x)]=3,则 f(x)=2+x^1/2有几个解?

详见图片!

(1)我们首先证明2^(1/2)设h(x)=x^(1/x)=e^ln[x^(1/x)]=e^[(1/x)lnx](x>0)
h'(x)=[(-1/x^2)lnx+1/x^2]e^[(1/x)lnx]=(1/x^2)(1-lnx)x^(1/x)。x=e时，h(x)取极大值(也是最大值)。
对于x>0且x<>e，则有h(x)=x^(1/x)

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(1)我们首先证明2^(1/2)设h(x)=x^(1/x)=e^ln[x^(1/x)]=e^[(1/x)lnx](x>0)
h'(x)=[(-1/x^2)lnx+1/x^2]e^[(1/x)lnx]=(1/x^2)(1-lnx)x^(1/x)。x=e时，h(x)取极大值(也是最大值)。
对于x>0且x<>e，则有h(x)=x^(1/x)(2)因为f(x)是单调函数，所以只存在唯一的常数C>0，使得f(C)=3
而f[f(x)+log1/2(x)]=3，所以f(x)+log1/2(x)=C，f(x)=-log1/2(x)+C=log2(x)+C
f(C)=log2(C)+C=3 2^(3-C)=C有唯一解，即C=2。f(x)=log2(x)+2
(3)log2(x)+2=2+x^(1/2) 方程为log2(x)=x^(1/2)
设g(x)=log2(x)-x^(1/2)(x>0) g'(x)=1/(xln2)-1/[2x^(1/2)]=[2-x^(1/2)ln2]/(2xln2)
当00，g(x)增；当x>4/(ln2)^2时，g'(x)<0，g(x)减。
g[4/(ln2)^2]=log2[4/(ln2)^2]-2/ln2=2-2log2(ln2)-2/ln2=(2/ln2)ln[2/(eln2)]
由(1)知，2^(1/2)1。所以g[4/(ln2)^2]=(2/ln2)ln[2/(eln2)]>0
而1<4/(ln2)^2<64，g(1)=-1<0且g(64)=6-8=-2<0
所以g(x)在区间(1,4/(ln2)^2)和(4/(ln2)^2,64)上各有一个零点(是x=4和x=16)
所以方程f(x)=2+x^1/2有2个解。

收起

函数f(x)定义域为(0,+∞),f(x)在定义域内单调递减,且f(x) 如果函数f(x)的定义域为（0,+无穷）,且f(x)为单调递增函数,)=f(x)+f(y)求证f(x比y)=f(x)-f(y) 定义域为（0,+∞）的单调函数f(x),对于任意x∈(0,+∞),有f[f(x)+log1/2(x)]=3,则 f(x)=2+x^1/2有几个解? 证明函数f（x）在其定义域上的单调递增函数f（x）=lg（x+√x^2+1）定义域为R 已知函数F(x)=f(x)/x在定义域(0,+∞)内为单调增函数,若f（x）=lnx+ax²,求a的取值范围. 已知函数f x 的定义域为(0,+∞),且fx在定义域上是单调增函数,f(xy)=f（x）+f（y）.（1）求证f（x/y）=f（x）-（y）(2)已知f（3）=1,且f（a）＞f（a-1）+2,求实数a的取值范围. 函数的解集已知定义域为R上的偶函数f(x)的单调减区间为[0,+∞),则不等式f(x) 单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2,某定义域为R （1）求f(0),f(5)的值 （2）证明f(x)为奇函数 若函数f（x+1）=x的平方-2x+1的定义域为[-2,6],求f（x）的定义域及单调递减区间 已知函数f(x)是定义域为(0,+∞)上的增函数,f(x)>0且f(2)=1,指出g(x)=f(x)+1/f(x)（x>0)的单调区间西、谢啦 设f(x)的定义域为(0,+∞)的单调增函数,且对定义域内任意x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y).f(2)=1f(x)+f(x-3) 已知函数f(x)在定义域（0,+∞）内单调递减,且f(2-x)≧f(x）,则x的取值范围是 函数f(x)是定义域为R上的偶函数,且它在x∈(0,+∞)上单调递减,则解不等式f(x)≥f(-2）的解集为? 若定义域为R的偶函数f(x)的一个单调递增区间是（2,6）,则函数f(2-x)的一个单调递增区间是? 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在定义域上是单调增函数,f(xy)=fx+fy.(1)证证明f(x/y）=fx–fy.(2)已知f(3)=1,且f(a)>f(a–1)+2,求实数a的取值范围. 已知Y=F(X)定义域为X大于0,且是单调函数,并且满足F（2）=1,F(X/Y)=F(X)-F(Y) （1）求证f(x的平方）=2f(已知Y=F(X)定义域为X大于0，且是单调函数，并且满足F（2）=1，F(X/Y)=F(X)-F(Y)（1）求证f(x的平方）= 已知函数f(x)在定义域【a,b)上是单调增函数,则函数f(X)的值域为 已知函数f(x)定义域(-无穷,0)U(0,+无穷)奇函数区间(0,正无穷)单调递增且f(2)=0若f已知函数f(x)是定义域为(-无穷,0)U(0,+无穷)的奇函数,在区间(0,正无穷)上单调递增,且f(2)=0若f（x）/（x-1）＜0则x的取