已知不等式x^2-2x+k^2-1>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/03 11:04:54
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已知不等式x^2-2x+k^2-1>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是?
已知不等式x^2-2x+k^2-1>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是?
已知不等式x^2-2x+k^2-1>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是?
x^2-2x+k^2-1>0
x^2-2x+1-1+k^2-1>0
(x-1)^2+k^2-2>0
要使不等式成立,又因为(x-1)^2≥0
所以k^2-2>0
所以k^2>2
∴k<-√2或k>√2
二次函数y=x^2-2x+k^2-1的图像是开口向上的抛物线,要求对一切x不等式y>0都成立,也就是要求二次函数的图像与x轴没有交点,即二次方程y=0没有解,所以判别式要小于零:
4-4(k^2-1)<0
即k^2>2
即k<-根号2,或者k>根号2