求数列3/2,4/2²,5/2³,.,n+2 / 2的n次方 的和

求数列3/2,4/2²,5/2³,.,n+2 / 2的n次方 的和
求数列3/2,4/2²,5/2³,.,n+2 / 2的n次方 的和

求数列3/2,4/2²,5/2³,.,n+2 / 2的n次方 的和
把分子提出来看成一个数列可以发现分子是个等差数列通项设为An
可以得到其通项公式为An=n+2
再将剩余的分式看成一个数列可以发现其实一个等比数列
其通项为Bn=2的n次方分之1
把各项都列举出来
Sn=3×（1/2）+4×（1/2）^2+.+(n+2)×（1/2的n次方）
½Sn= 3×（1/2)^2 + 4×(1/2)^3+...+(n+1)×（1/2的n次方）+（n+2)×（1/2的n+1次方）
用Sn-½Sn=3×(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+.+(1/2)^n -（n+2)×(1/2的n+1次方）
化简整理可得Sn=5-(2的n-2次方 分之5）
结果我不敢把握有很高的准确性因为是口算的
但方法是这样的 利用错位相减法求其前n项和

Sn = 3/2 + 4/2² + 5/2³ + ... + (n+2)/2^n
Sn/2= 3/2² + 4/2³ +.....+ (n+1)2^n + (n+2)/2^(n+1)
相减：
Sn/2=3/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^n - (n+2)/2^(n+1)
Sn/2=1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^n - (n+2)/2^(n+1)
Sn/2=1+1-(1/2)^n - (n+2)/2^(n+1)
Sn=4-(1/2)^(n-1) - (n+2)/2^n