作业帮求证：四个连续自然数的乘积与1的和一定是完全平方数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 04:17:55
求证：四个连续自然数的乘积与1的和一定是完全平方数
求证：四个连续自然数的乘积与1的和一定是完全平方数
求证：四个连续自然数的乘积与1的和一定是完全平方数
设这四个连续的自然数分别为x、x＋1、x＋2、x＋3
则x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]+1
=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1
=(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)+1
=(x^2+3x+1)^2
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=(a²+3a)(a²+3a+2)+1
=(a²+3a)²+2（a²+3a)+1
=(a²+3a+1）²
是完全平方数。
设四个连续自然数分别是n,n+1,n+2,n+3，则：
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n平方+3n)(n平方+3+2)+1
=(n平方+3n)的平方+2(n平方+3n)+1
＝[(n平方+3n)+1]的平方
证明：设这四个连续的自然数分别为a、a＋1、a＋2、a＋3；
a﹙a＋1﹚﹙a＋2﹚﹙a＋3﹚＋1
＝﹙a²＋3a﹚﹙a²＋3a＋2﹚＋1
＝﹙a²＋3a﹚²＋2﹙a²＋3a﹚＋1
＝﹙a²＋3a＋1﹚²
所以，四个连续自然数的乘积与1...
全部展开
证明：设这四个连续的自然数分别为a、a＋1、a＋2、a＋3；
a﹙a＋1﹚﹙a＋2﹚﹙a＋3﹚＋1
＝﹙a²＋3a﹚﹙a²＋3a＋2﹚＋1
＝﹙a²＋3a﹚²＋2﹙a²＋3a﹚＋1
＝﹙a²＋3a＋1﹚²
所以，四个连续自然数的乘积与1的和是完成平方数。
收起
a﹙a＋1﹚﹙a＋2﹚﹙a＋3﹚＋1
＝﹙a²＋3a﹚﹙a²＋3a＋2﹚＋1
＝﹙a²＋3a﹚²＋2﹙a²＋3a﹚＋1
＝﹙a²＋3a＋1﹚²
∴四个连 续自然数的乘积与1的和是完成平方数。