作业帮已知抛物线Y^2=2PX(P>0)与双曲线X^2\(根号2-1)^2-Y^2\B^2=1.有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,,且AF垂直 | 于X轴,直线L与抛物线交于不同的两点C,D如果向量OC*OD=M（M为时常数）,直线L只过唯一的一定点,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 07:29:53
已知抛物线Y^2=2PX(P>0)与双曲线X^2\(根号2-1)^2-Y^2\B^2=1.有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,,且AF垂直 | 于X轴,直线L与抛物线交于不同的两点C,D如果向量OC*OD=M（M为时常数）,直线L只过唯一的一定点,
已知抛物线Y^2=2PX(P>0)与双曲线X^2\(根号2-1)^2-Y^2\B^2=1.有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,
,且AF垂直 | 于X轴,直线L与抛物线交于不同的两点C,D如果向量OC*OD=M（M为时常数）,直线L只过唯一的一定点,求出M的值和此定点 .
已知抛物线Y^2=2PX(P>0)与双曲线X^2\(根号2-1)^2-Y^2\B^2=1.有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,,且AF垂直 | 于X轴,直线L与抛物线交于不同的两点C,D如果向量OC*OD=M（M为时常数）,直线L只过唯一的一定点,
由抛物线和双曲线方程的性质可知抛物线焦点坐标为(p/2,0),双曲线右焦点坐标为(√(3-2√2+b^2),0),因为焦点相同,有p/2=√(3-2√2+b^2),A是两曲线交点且AF垂直于x轴,因此A点横坐标为p/2或√(3-2√2+b^2),代入抛物线方程可知其纵坐标为±p,代入双曲线方程可知其纵坐标为±b^2/(√2-1),因此有p=b^2/(√2-1),与上式联立可解得p=2,b^2=2√2-2,抛物线方程为y^2=4x.
当直线L发生变化时,向量OC和OD的模也不断发生变化,要使两个向量的点乘为常数,则两个向量必须相互垂直,点乘的乘积M恒等于0,设直线l的方程为y=kx+b,则与抛物线方程联立后可解得两个交点C和D的坐标分别为([2-kb+2√(1-kb)]/k^2,[2+2√(1-kb)]/k)和([2-kb-2√(1-kb)]/k^2,[2-2√(1-kb)]/k),由于OC垂直OD,可知有{[2-kb+2√(1-kb)]/k^2} * {[2-kb-2√(1-kb)]/k^2} + {[2+2√(1-kb)]/k} * {[2-2√(1-kb)]/k} = 0,化简得4k+b=0,因此该直线始终经过定点(4,0).