在三角形ABC中,角C=90°,AC=BC,D是AC上一点,AE垂直BD交BD的延长线于E,且AE=BD的一半,DF垂直AB于F.求证:CD=DF

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/12/01 11:31:07
在三角形ABC中,角C=90°,AC=BC,D是AC上一点,AE垂直BD交BD的延长线于E,且AE=BD的一半,DF垂直AB于F.求证:CD=DF
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在三角形ABC中,角C=90°,AC=BC,D是AC上一点,AE垂直BD交BD的延长线于E,且AE=BD的一半,DF垂直AB于F.求证:CD=DF
在三角形ABC中,角C=90°,AC=BC,D是AC上一点,AE垂直BD交BD的延长线于E,且AE=BD的一半,DF垂直AB于F.
求证:CD=DF

在三角形ABC中,角C=90°,AC=BC,D是AC上一点,AE垂直BD交BD的延长线于E,且AE=BD的一半,DF垂直AB于F.求证:CD=DF
作:AE与BC的延长线交予G点
因为 △ABC是等腰直角三角形
根据已知条件可知:D点是△AGB的垂心(三条高的交点)
在△ACG和 △BCD中:
AC=BC
∠ACG = ∠BCD (直角)
CG=CD (△GFB是等腰直角三角形)
∴△ACG≌△BCD
故 AG=DB
又 2AE=BD
AG=2AE
AE+EG=AG
故 AE=EG
所以 BG为△AGB的AG 边上的中线,同时也是AG 边上的高
所以 BE 也是∠ABG 的角平分线
∴CD=DF ( 角平分线上的点到两变得距离相等)