关于导函数的数学题已知可导函数f(x)满足f(0)=0,当x趋近于零,f(x)/x趋近于1,f'(x)单调递增 求证f(x)大于等于x

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/25 19:45:58
关于导函数的数学题已知可导函数f(x)满足f(0)=0,当x趋近于零,f(x)/x趋近于1,f'(x)单调递增 求证f(x)大于等于x
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关于导函数的数学题已知可导函数f(x)满足f(0)=0,当x趋近于零,f(x)/x趋近于1,f'(x)单调递增 求证f(x)大于等于x
关于导函数的数学题
已知可导函数f(x)满足f(0)=0,当x趋近于零,f(x)/x趋近于1,f'(x)单调递增
求证f(x)大于等于x

关于导函数的数学题已知可导函数f(x)满足f(0)=0,当x趋近于零,f(x)/x趋近于1,f'(x)单调递增 求证f(x)大于等于x
由于当x趋近于零,f(x)/x=f(0+x)/x趋近于1
则可知f'(0)=1
又f'(x)单调递增 且f(x)满足f(0)=0
则当x1=[y'=(x)'] 故此时f(x)>0>x
得证

当x趋于0,因为f(x)/x趋于1,所以f'(0)=1(洛必达法则),又f'(x)增,则f'(x)>1
左侧函数大于右侧函数,因此两边同取变上限积分,就得到f(x)>x

f'(x)单调增,所以在定义域上,f(x)为凹。
由凹函数性质,知后弦斜率>切线斜率>前弦斜率,就是[f(x)-f(0)]/(x-0)
> f'(0) > [f(y)-f(0)]/(y-0),此处x > 0 > y
化简即是f(x)/x > 1 > f(y)/y
于是f(x)>x,只要x不等于0