如图,在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证:△ABC是直角三角形.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 08:41:26
如图,在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证:△ABC是直角三角形.
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如图,在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证:△ABC是直角三角形.
如图,在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证:△ABC是直角三角形.

如图,在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证:△ABC是直角三角形.
证明:在CD的延长线上取点E,使DE=CD
∵CD是中线
∴AD=BD
∵DE=CD,∠ADC=∠BDE
∴△ADC≌△BDE (SAS)
∴BE=AC,∠E=∠ACD
∴AC∥BE
∵AC²+BC²=4CD²
∴BE²+BC²=4CD²
∵CE=CD+DE=2CD
∴CE²=4CD²
∴BE²+BC²=CE²
∴∠CBE=90
∴∠ACB=180-∠CBE=90
∴△ABC是直角三角形
数学辅导团解答了你的提问,

证明:延长CD,使DE=CD=1/2CE,连接AE
因为CD是中线
所以AD=BD
因为角ADE=角BDC
所以三角形ADE和三角形BDC全等(SAS)
所以BC=AE
角DAE=角B
所以AE平行BC
所以角CAE+角ACB=180度
因为AC^2+BC^2=4CD^2
所以AC^2+AE^2=CE^2
所以...

全部展开

证明:延长CD,使DE=CD=1/2CE,连接AE
因为CD是中线
所以AD=BD
因为角ADE=角BDC
所以三角形ADE和三角形BDC全等(SAS)
所以BC=AE
角DAE=角B
所以AE平行BC
所以角CAE+角ACB=180度
因为AC^2+BC^2=4CD^2
所以AC^2+AE^2=CE^2
所以三角形CAE是直角三角形
所以角CAE=90度
所以角ACB=90度
所以三角形ABC是直角三角形

收起

过A作BC平行线,过B作AC平行线。所以ABCE是平行四边形。因为D是AB中点。平行四边形对角线互相平分。所以CD延长线交于E。CE=2CD。所以AC^2+AE^2=CE^2(AE=BC)所以角CAE=90度。AEBC是矩形。所以三角形ABC是直角三角形。