求函数y=根号sin²x+4 + 1/根号sin²x+4 的最小值与最大值.各位看看我哪里算错了.最大值应该是6/5

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/03 10:07:56
求函数y=根号sin²x+4 + 1/根号sin²x+4 的最小值与最大值.各位看看我哪里算错了.最大值应该是6/5
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求函数y=根号sin²x+4 + 1/根号sin²x+4 的最小值与最大值.各位看看我哪里算错了.最大值应该是6/5
求函数y=根号sin²x+4 + 1/根号sin²x+4 的最小值与最大值.

各位看看我哪里算错了.最大值应该是6/5

求函数y=根号sin²x+4 + 1/根号sin²x+4 的最小值与最大值.各位看看我哪里算错了.最大值应该是6/5
错在应用基本不等式时,未注意“一正二定三相等”这前提条件.
事实上,是取不到最小值2的,
因为y＝t+1/t≥2取等时,t＝1/t→t＝1.
此时,√[(sinx)^2+4]＝1→(sinx)^2＝-3,当然不可能!
正确的解法如下：
设t＝√((sinx)^2+4),
因0≤(sinx)^2≤1,故t∈[2,√5].
构造函数f(t)＝t+1/t,则依对勾函数单调性知,
t∈[1,+∞)时,f(t)单调递增,
∴t∈[2,√5]时单调递增.
故所求最小值：y|min＝f(2)＝2+(1/2)＝5/2;
所求最大值为：y|max＝f(√5)＝√5+(1/√5)＝(6√5)/5.