运用对数求导法求出其导数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/10 23:56:23
运用对数求导法求出其导数
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运用对数求导法求出其导数
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运用对数求导法求出其导数
设： y=y1+y2=(lnx)^x + x^(1/x) (1)
其中：y1 = (lnx)^x (2)
y2 = x^(1/x) (3)
y' = y'1 + y'2 (4)
对(2)、(3) 式两边取对数：
lny1 = xln(lnx) (5)
lny2 = lnx / x (6)
(5)、(6)式两边对x求导：
y'1/y1 = ln(lnx) + x/lnx (1/x)=lnlnx + 1/lnx
y'1 = (lnlnx+1/lnx)(lnx)^x (7)
y'2/y2 = (1-lnx)/x^2
y'2 = (1-lnx)x^(1/x)/x^2 (8)
最后：
y' = (lnlnx+1/lnx)(lnx)^x + (1-lnx)x^(1/x)/x^2 (9)

设y=y1+y2,y1=(lnx)^x,y2=x^(1/x)，则
lny1=xln(lnx), lny2=lnx*(1/x)，分别求导得
y1'/y1=ln(lnx)+x*1/lnx*1/x=ln(lnx)+1/lnx
y2'/y2=1/x*1/x-lnx*(1/x^2)，
∴y'=[(lnx)^x+x^(1/x)]'=(lnx)^x*[ln(lnx)+1/lnx]+x^(1/x)*[1/x^2-lnx*(1/x^2)]，

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