利用导数证明不等式当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 21:24:16
利用导数证明不等式当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
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利用导数证明不等式当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
利用导数证明不等式
当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)

利用导数证明不等式当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
f(x)=x-ln(x+1)
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
x>1,所以f'(x)>0,增函数
所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0
f(x)>0
所以x>0时,x>ln(x+1)

y=x-ln(x+1)
y'=1-1/(x+1),
x>1时，y'>0 ,y随着x增大递增，取x1>x2,必有f(x1)>f(x2)
x2=1时，y2=1
f(x1)>1
所以x>1时，y>1
x-ln(x+1)>1
x>ln(x+1)

证明：令f(x)=x-ln(x+1).
f`(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1),因为x>1，所以f`(x)=x/(x+1)>0,即f(x)是增函数，f(1)=1-ln2>0,所以
f(x)>0,即x>ln(x+1)。

设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在（1，+无穷大）上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1

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