设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/21 02:34:50
设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.
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设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.
设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.

设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.
必要性:
因为（P^-1）AP=B,所以 A与B 相似,
而相似矩阵有相同的特征值,
所以A,B的特征值全部相同.
充分性:
由A,B都是实对称矩阵且A,B的特征值全部相同,设为 a1,a2,...,an
则存在正交矩阵C,D满足:
C^-1AC = diag(a1,a2,...,an),
D^-1BD = diag(a1,a2,...,an),
所以有 C^-1AC = D^-1BD
所以 B = D(C^-1AC)D^-1 = (DC^-1)A(CD^-1)
= (CD^-1)^-1A(CD^-1).
令 P = CD^-1
则 P^-1AP = B.
因为正交矩阵的逆,乘积仍是正交矩阵,
所以P是正交矩阵.
命题得证.

设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同. 设A为实对称矩阵,且A正交相似于B,证明B为实对称矩阵. 设A为N阶实矩阵,且有N个正交的特征向量,证明：1A为实对称矩阵；2存在实数k及实对称矩阵B,A+kE=B^2 设A是一个 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得 设A,B都是n阶实对称矩阵,那么存在正交矩阵P使得 P'AP和P'BP都是对角矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A,B都是n阶的正交矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正交矩阵 设A是n阶实对称矩阵,A^2=A,证明存在正交矩阵.设A是n阶实对称矩阵,A^2=A,证明存在正交矩阵T,使得T^（-1）AT=diag(1,1,1,1...0,0) 设A为n阶实对称矩阵,若A的平方等于E,证明A是正交矩阵 设A为n阶矩阵,且有n个正交的特征向量,证明:A为实对称矩阵 若A实对称矩阵,T是正交矩阵,证明T^-1AT是对称矩阵 试证明:设A为n阶实对称矩阵,且A^2=A,则存在正交矩阵T,使得T^-1AT=diag(Er,0),其中r为秩,Er为r阶单位矩阵 设A是n阶可逆矩阵,证明,存在正定对称阵P以及正交矩阵U使得A=PU 1、设A为n阶实对称正交矩阵,且1为A的r重特征值（1）求A的相似对角矩阵.（2）求det(3EA).2、设A,B都是mxn实矩阵,满足r（A+B）=n,证明ATA+BTB正定.T是转置. 设A是正交矩阵,证明A^*也是正交矩阵 正交矩阵和对角矩阵的问题,A为n阶实矩阵,证明存在正交矩阵Q,使(AQ）＾T（AQ）为对角矩阵a不是实对称矩阵 设A,B是n阶正定矩阵,则AB是：A.实对称矩阵．B.正定矩阵．C.可逆矩阵．D.正交矩阵 实对称矩阵对角化问题设A为3介实对称矩阵,可知存在正交阵P,使得P'-1AP=B,B为其特征值构成的对角矩阵,为什么求出了A的特征向量再施密特正交化最后还要单位话,个人感觉正交化就足够了,为什 设A与B都是N阶正交矩阵试证AB也是正交矩阵