A为三阶对称矩阵,秩为2,A满足A的平方等于A,求|A-E|

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/27 23:22:15
A为三阶对称矩阵,秩为2,A满足A的平方等于A,求|A-E|
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A为三阶对称矩阵,秩为2,A满足A的平方等于A,求|A-E|
A为三阶对称矩阵,秩为2,A满足A的平方等于A,求|A-E|

A为三阶对称矩阵,秩为2,A满足A的平方等于A,求|A-E|
因为 A^2=A
所以 A 的特征值只能是 1,0
又因为A是实对称矩阵,r(A)=2
所以 A 的特征值为 1,1,0
所以 |A-E| = 0.

A为三阶对称矩阵,秩为2,说明A有两个非零特征值。设λ为A的任一零特征值,对应的特征向量为α,则有Aα=λα。因为A^2=A, 于是有A^2α=Aα, 即有λ^2α=λα,即(λ^2-λ) α=0,但α是非零向量,于是有λ^2-λ=0,又λ为A的任一零特征值,所以λ=1. 于是λ=1满足A的特征方程,于是
|A-E|=0....

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A为三阶对称矩阵,秩为2,说明A有两个非零特征值。设λ为A的任一零特征值,对应的特征向量为α,则有Aα=λα。因为A^2=A, 于是有A^2α=Aα, 即有λ^2α=λα,即(λ^2-λ) α=0,但α是非零向量,于是有λ^2-λ=0,又λ为A的任一零特征值,所以λ=1. 于是λ=1满足A的特征方程,于是
|A-E|=0.

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