不等式(x+ay)(x+y)>=25xy对任意正实数x,y恒成立则正实数a的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/12/01 19:35:37
不等式(x+ay)(x+y)>=25xy对任意正实数x,y恒成立则正实数a的最小值
xS]o0+}LvI )AL2BH{`I[VV'AƨҪ4i_픧n6mR8{Y׎XXO ɣ: h -]t.s ZCM̤^=%jkg21]&'nFtlzUe(S>$xbU<:R%!  ]p]x2ٵV#1 u >xv7Sk@>tQ ~pσ˰EV*v[(,>hbüos6m'ȏ6 KM`b/>үWXjF[ )_R; \FơE9f.[zbiDk# Vq9;{'~Mϭ #_$=BF.^b"̛7Ƙ {CG

不等式(x+ay)(x+y)>=25xy对任意正实数x,y恒成立则正实数a的最小值
不等式(x+ay)(x+y)>=25xy对任意正实数x,y恒成立则正实数a的最小值

不等式(x+ay)(x+y)>=25xy对任意正实数x,y恒成立则正实数a的最小值
(x+ay)(x+y)>=25xy
x^2+ay^2+(a+1)xy-25xy>=0
x^2+(a-24)xy+ay^2>=0
根据题意 当x>0时,函数值x^2+(a-24)xy+ay^2>=0恒成立
必有
-(a-24)y/2=0 (2) ……(与y轴负半轴无交点)
因y>0
(1)式即-(a-24)=24
(2)式即 a>=0
所以正整数a的最小值是24

不等式(x+ay)(x+y)>=25xy化简得到:x^2+(a-24)xy+ay^2>=0。将上式的y看成常数,a看成待定参数,则左边是一个一元二次方程,不等式恒成立的必要条件是⊿=(a-24)^2.y^2-4ay^2<=0。可得:(a-26)^2<=100,即16<=a<=36。所以,min a=16.

f(x,y)=x^2+(a+26)xy+ay^2
令f(x,y)=0
diuta=[(a+26)y]^2-4ay^2<0,y>0
(26-3a)y^2<0,26-3a<0,3a>26,a>26/3
a为正实数
所以a=9