作业帮帮忙回答“斐波那契数列”
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:41:23
帮忙回答“斐波那契数列”
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帮忙回答“斐波那契数列”
用先设为等比数列再求解的方法,请见图片.你发了关于“斐波那契数列”这种求法的两个帖子,都给你回了.
设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么 F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
设常数r，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
所以 r+s=1， -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
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设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么 F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
设常数r，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
所以 r+s=1， -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
所以 F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2
其中 F(n)=（s^2-r^2）/(s-r)
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n
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