已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 04:36:31
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
1.当k=1时.
2S1=a1+1/a1 a1=1=√1-√1-1
假设当k=n-1时.
2Sn-1=a(n-1)+1/a(n-1)成立,可推出an-1=√n-1 -√n-2
当k=n时
2Sn=an+1/an
又2S(n-1)=a(n-1)+1/a(n-1) 相减:2Sn-2S(n-1)=2an
即2an=an+1/an-a(n-1)+1/an-1
an-1/an=-a(n-1)-1/a(n-1)
=-√n-1 +√n-2-1/√n-1 -√n-2
=-2√n-1
=√n-√n-1-√n-√n-1
=√n-√n-1-1/(√n-√n-1)
所以an=√n-√n-1
综上所述,命题得证
---------有不懂的请HI我
当n=1时,2Sn=an+1/an,即2a1=a1+1/a1 解得a1=1=(根号1)-(根号1-1) 所以 等式成立
假设n=k时,ak=(根号k)-(根号k-1) 成立,则n=k+1时
2S(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1) (1)
2Sk=ak+1/ak (2)
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当n=1时,2Sn=an+1/an,即2a1=a1+1/a1 解得a1=1=(根号1)-(根号1-1) 所以 等式成立
假设n=k时,ak=(根号k)-(根号k-1) 成立,则n=k+1时
2S(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1) (1)
2Sk=ak+1/ak (2)
(1)式-(2)式 得 2a(k+1) =a(k+1)+1/a(k+1)-ak-1/ak
又因为 ak=(根号k)-(根号k-1) 所以 a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2(根号k)
解得 a(k+1)=(根号k+1)-(根号k) 所以 等式成立
故 an=(根号n)-(根号n-1) 成立
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