在数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+...+an=(2^n)-1,求a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 06:49:02
![在数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+...+an=(2^n)-1,求a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2的值](/uploads/image/z/1765056-48-6.jpg?t=%E5%9C%A8%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9Ban%EF%BD%9D%E4%B8%AD%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0n%2Ca1%2Ba2%2Ba3%2B...%2Ban%3D%EF%BC%882%5En%EF%BC%89-1%2C%E6%B1%82a1%5E2%2Ba2%5E2%2Ba3%5E2%2B...%2Ban%5E2%E7%9A%84%E5%80%BC)
在数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+...+an=(2^n)-1,求a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2的值
在数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+...+an=(2^n)-1,求a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2的值
在数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+...+an=(2^n)-1,求a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2的值
Sn=2^n-1 ,a1=2^1-1=1
S(n-1)=2^(n-1)-1
an=Sn-S(n-1)=2^n(1-1/2)=2^(n-1),n≥2
当n=1时,a1=1,满足
∴an=2^(n-1)
an^2=2^(2n-2)=4^(n-1) 等比数列,首相1,公比4
Tn=a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2
=1*(1-4^n)/(1-4)
=(4^n-1)/3
因为$S_n=2^n-1$
$=> a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$
\newline
故$\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2=\sum_{i=1}^{n} (2^{n-1})^2=\sum_{i=1}^{n} 4^{n-1} $
\newline
$={4^n -1}/3$
\newline 上述标...
全部展开
因为$S_n=2^n-1$
$=> a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$
\newline
故$\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2=\sum_{i=1}^{n} (2^{n-1})^2=\sum_{i=1}^{n} 4^{n-1} $
\newline
$={4^n -1}/3$
\newline 上述标记为51Math无忧数学网专用数学公式法,详见51Math无忧数学网。
51Math无忧数学网网友:51math
收起