如何证明2¹-1,2²-1,2³-1……2ⁿ-1定存在一个数被n(n为奇数0)整除?这题跟抽屉原理有关。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 07:50:38
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如何证明2¹-1,2²-1,2³-1……2ⁿ-1定存在一个数被n(n为奇数0)整除?这题跟抽屉原理有关。
如何证明2¹-1,2²-1,2³-1……2ⁿ-1定存在一个数被n(n为奇数0)整除?
这题跟抽屉原理有关。
如何证明2¹-1,2²-1,2³-1……2ⁿ-1定存在一个数被n(n为奇数0)整除?这题跟抽屉原理有关。
用反证法.
如果2¹-1,2²-1,2³-1……2ⁿ-1都不能被n整除,那么这n个数除n的余数一定在1到n-1中取得,必有两个数模n余数相同,设为2^a和2^b.则有n|2^a-2^b,n|2^b(2^(a-b)-1).因为n是奇数,推出n|(2^(a-b)-1),与前面假设2¹-1,2²-1,2³-1……2ⁿ-1都不能被n整除矛盾.
反证法就可以了 简洁明了
假设不存在一个数被n整除
因为 2^4-1=15 可以被3,5整除
所以得出矛盾
故原命题正确
至少有一个数能被n整除(其中n为大于1的奇数).
证明:用数学归纳法来证明.(1)当n=2时成立.
(2)假设,当n=k时,成立.
(3)证明:当n=k+1时也成立.
(31)2n-1个互不相同的整数中n个整数的和,有C(n,2n-1)种互不相同的可能性.
(32)这C(n,2n-1)种互不相同的可能性,落在[0,(2n-1)•n]区间内...
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至少有一个数能被n整除(其中n为大于1的奇数).
证明:用数学归纳法来证明.(1)当n=2时成立.
(2)假设,当n=k时,成立.
(3)证明:当n=k+1时也成立.
(31)2n-1个互不相同的整数中n个整数的和,有C(n,2n-1)种互不相同的可能性.
(32)这C(n,2n-1)种互不相同的可能性,落在[0,(2n-1)•n]区间内.在这个区间内,不能被n整除的整数个数是(2n-1)•(n-1)个.
(33)证明C(n,2n-1)>(2n-1)•(n-1).
(34)原命题得证.
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