已知a,b,c,d,都是正数,求证(ab+cd)*(ac+bd)>=4abcd

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 02:27:50
已知a,b,c,d,都是正数,求证(ab+cd)*(ac+bd)>=4abcd
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已知a,b,c,d,都是正数,求证(ab+cd)*(ac+bd)>=4abcd
已知a,b,c,d,都是正数,求证(ab+cd)*(ac+bd)>=4abcd

已知a,b,c,d,都是正数,求证(ab+cd)*(ac+bd)>=4abcd
思路:左边-右边,提出abcd,就豁然开朗了
具体:
左边-右边=a^2bc+ab^2d+ac^2d+cbd^2-4abcd
=abcd(a/d+b/c+c/b+d/a-4)
=abcd[(a/d+d/a-2)+(b/c+c/b-2)]
=abcd[(a^2+d^2)/ad-2+(b^2+c^2)/bc-2]
∵(a-d)^2≥0 ∴a^2+d^2-2ad≥0,a^2+d^2≥2ad,(a^2+d^2)/ad≥2
同理,(b^2+c^2)/bc≥2
又abcd都是正数,所以左边-右边≥0
(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd