证明不等式 a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^c+bc^2大于等于6abc

证明不等式 a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^c+bc^2大于等于6abc
证明不等式 a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^c+bc^2大于等于6abc

证明不等式 a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^c+bc^2大于等于6abc
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc
=(a^2b+bc^2-2abc)+(ab^2+ac^2-2abc)+(b^c+a^2c-2abc)
=b(a-c)^2+a(b-c)^2+c(a-b)^2
因为(a-c)^>=0,(b-c)^2>=0,(a-b)^2>=0
所以,a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc>=0
所以,a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2>=6abc

直接用6元平均不等式
X1+X2+X3+X4+X5+X6≥6*6次根号X1X2X3X4X5X6

a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^c+bc^2-6abc =0
c*(a^2+b^2-2ab) +b*(a^2+c^2-2ac) +a*(c^2+b^2-2bc)=0
因为一个数的平方大于或等于0
所以a^2+b^2-2ab=(a-b)^2=0
a^2+c^2-2ac=(a-c)^2=0
c^2+b^2-2bc=(b-c)^2=0
所以a=b=c