如图,已知BD是等腰三角形ABC的腰AC上的中线,AE垂直BD交BD与点E,延长AE,交BC于点F,求证角ADB=角CDF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/29 06:09:12
如图,已知BD是等腰三角形ABC的腰AC上的中线,AE垂直BD交BD与点E,延长AE,交BC于点F,求证角ADB=角CDF
如图,已知BD是等腰三角形ABC的腰AC上的中线,AE垂直BD交BD与点E,延长AE,交BC于点F,求证角ADB=角CDF
如图,已知BD是等腰三角形ABC的腰AC上的中线,AE垂直BD交BD与点E,延长AE,交BC于点F,求证角ADB=角CDF
证明:作CG垂直于BD的延长线于G
易证三角形AED与三角形CGD全等
所以 ED=DG
因为 ∠AED = 90度 =∠BEA ;
∠ADE = 90度 - ∠EAD = ∠BAE,
所以三角形AED与三角形BEA相似
所以 ED/AE = AE/BE = AD/BA = AD/AC = 1/2
所以 ED/BE = 1/4
所以 BE/BG = BE/(BE+ED+DG) = BE/(BE+2ED) = 2/3
因为 AF//CD,
所以三角形BEF与三角形BGC相似
所以 BF/BC = BE/BG = 2/3
所以 BF/FC = BF/(BC-BF) = 2/1
因为 AB/DC = 2/1 = BF/FC 而 ∠ABF = ∠DCF = 45度,
所以三角形ABF与三角形DCF相似
所以 ∠BAF = ∠CDF
又因为∠ADB = 90度 - ∠BAD = ∠BAF,
所以 ∠ADB = ∠CDF
ABC是等腰直角三角形 过c做CG垂直AC交AF延长线于G CAF=ABD AB=AC BAD=ACG=90
ABD全等ACG BAD=CGA AD=CG AD=CD=CG DCF=GCF=45 CF=CF DFC全等GFC
FDC=FGC FGC=ADB 所以 ADB=CDF
错题,ABC为等边三角形的时候验证一下,明显不成立。
作AG平分∠BAC,交BD于点G
∵∠BAC=90°,AE⊥BD
∴∠DAE+∠ADB=ABE+∠ADB=90°
∴ ∠ABG=∠CAF
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC,∠C=∠BAG=45°
∴△BAG≌△CAF
∴AG=CF
又∵AD=CD,∠GAD=∠C =45°
∴△AGD≌△DFG
∴∠ADB=∠CDF