有界性的一个证明题.证明：函数f(x)=sin(1/x)/x在区间（0,1]上无界,且在x趋近于0+时不是无穷大.我用的是反证法,但是证完后总觉得有些不对.希望高数大神指点迷津.我的证明过程就不写了,关键

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 11:40:32
有界性的一个证明题.证明：函数f(x)=sin(1/x)/x在区间（0,1]上无界,且在x趋近于0+时不是无穷大.我用的是反证法,但是证完后总觉得有些不对.希望高数大神指点迷津.我的证明过程就不写了,关键
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有界性的一个证明题.证明：函数f(x)=sin(1/x)/x在区间（0,1]上无界,且在x趋近于0+时不是无穷大.我用的是反证法,但是证完后总觉得有些不对.希望高数大神指点迷津.我的证明过程就不写了,关键
有界性的一个证明题.
证明：
函数f(x)=sin(1/x)/x在区间（0,1]上无界,且在x趋近于0+时不是无穷大.
我用的是反证法,但是证完后总觉得有些不对.希望高数大神指点迷津.我的证明过程就不写了,关键在于理解这个思想.

有界性的一个证明题.证明：函数f(x)=sin(1/x)/x在区间（0,1]上无界,且在x趋近于0+时不是无穷大.我用的是反证法,但是证完后总觉得有些不对.希望高数大神指点迷津.我的证明过程就不写了,关键
方法一：
用函数极限与数列极限的关系可以很容易说明结论“在x趋近于0+时不是无穷大”,而函数是无穷大则可以说明函数无界
取xn＝1/2nπ,n为正整数,则n→∞时,xn→0＋,f(xn)＝0,所以f(x)不是x→0+时的无穷大
取yn＝1/(2nπ+π/2),n为正整数,则n→∞时,yn→0＋,f(yn)＝2nπ+π/2→＋∞,所以f(x)当x→0+时无界,从而f(x)在(0,1]上无界
方法二：定义
（函数f(x)在在(0,1]上无界,即是证明对于任意大的正数M,存在x∈(0,1],使得|f(x)|＞M）
对于任意大的正数M＞1,一定存在一个充分大数n,使得2nπ+π/2＞M,所以x＝1/(2nπ+π/2)∈(0,1],而f(x)＝2nπ+π/2＞M,所以f(x)在(0,1]上无界
（函数f(x)当x→0+时不是无穷大,即是证明存在正数M,对于任意的正数X,存在x,x＞X,但是|f(x)|＜M）
存在正数M＝1,对于任意的正数X,存在正整数n,使得2nπ＞1/X,取x＝1/(2nπ),则x＞X,而|f(x)|＝0＜M,所以f(x)当x→0+时不是无穷大

不管多大的M>0, 总能找到足够小的x0=1/[(2n+1/2)π]
使得
sin(1/x0)/x0=1/x0=
(2n+1/2)π>M
故在x→0+时sin(1/x)/x无界。
不管x0∈(0,1]有多小，总能找到足够小的想x11/x1=(2n+1/2)π, 01
而且还能找到x...

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不管多大的M>0, 总能找到足够小的x0=1/[(2n+1/2)π]
使得
sin(1/x0)/x0=1/x0=
(2n+1/2)π>M
故在x→0+时sin(1/x)/x无界。
不管x0∈(0,1]有多小，总能找到足够小的想x11/x1=(2n+1/2)π, 01
而且还能找到x21/x2=2nπ, 0故在x→0+时sin(1/x)/x没有极限，更不是无穷大；

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