已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值;若不存在说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 18:49:05
![已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值;若不存在说明理由.](/uploads/image/z/1790485-61-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B2X%26%23178%3B-4nX-2n%3D1%E5%92%8CX%26%23178%3B-%283n-1%29X%2B2n%26%23178%3B-3n%3D2%2C%E9%97%AE%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%BF%99%E6%A0%B7%E7%9A%84n%E5%80%BC%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E7%AC%AC%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E4%B8%A4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E4%B8%AA%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E4%B8%80%E6%95%B4%E6%95%B0%E6%A0%B9%3F%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E6%B1%82%E5%87%BA%E8%BF%99%E6%A0%B7%E7%9A%84n%E5%80%BC%EF%BC%9B%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.)
已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值;若不存在说明理由.
已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值;若不存在说明理由.
已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值;若不存在说明理由.
2x²-4nx-2n=1 2x²-4nx-2n-1=0
x²-(3n-1)x+2n²-3n=2 x²-(3n-1)x+2n²-3n-2=0
两方程均有实根,判别式△≥0
(-4n)²-8(-2n-1)≥0 2n²+2n+1≥0 2(n+ 1/2)² +1/2≥0 n为任意实数
[-(3n-1)]²-4(2n²-3n-2)≥0 n²+6n+9≥0 (n+3)²≥0 n为任意实数
设方程2x²-4nx-2n=1两根分别为x1,x2
2x²-4nx-2n-1=0
由韦达定理得x1+x2=2n x1·x2=-(2n+1)/2
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1·x2
=(2n)²-2[-(2n+1)/2]
=4n²+2n+1
假设x=4n²+2n+1是第二个方程的根,x=4n²+2n+1代入第二个方程
(4n²+2n+1)²-(3n-1)(4n²+2n+1)+2n²-3n-2=0
(4n²+2n+1)²-(3n-1)(4n²+2n+1)+(n-2)(2n+1)=0
[(4n²+2n+1)-(n-2)][(4n²+2n+1)-(2n+1)]=0
4n²(4n²+n+3)=0
4n²+n+3=4(n +1/8)²+47/16恒>0,因此只有n=0
存在.理由如下:
设方程2x2-4nx-2n=1的两根为x1,x2,变形方程得到方程2x2-4nx-2n-1=0,
x1+x2=2n,x1•x2=-2n+12,
∴x1
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存在.理由如下:
设方程2x2-4nx-2n=1的两根为x1,x2,变形方程得到方程2x2-4nx-2n-1=0,
x1+x2=2n,x1•x2=-2n+12,
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4n2+2n+1,
对于方程x2-(3n-1)x+2n2-3n-2=0,△=(3n-1)2-4(2n2-3n-2)=n2+6n+9=(n+3)2,
∴x=
当4n2+2n+1=2n+1,解得n=0;
当4n2+2n+1=n-2,整理得4n2+n+3=0,△<0,方程无解,
∴m的值为0.
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