设向量OA、向量OB、向量OP是三个有共同起点的不共线向量求证:它们的中点A、B、P共线、当且仅当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/26 23:26:06
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设向量OA、向量OB、向量OP是三个有共同起点的不共线向量求证:它们的中点A、B、P共线、当且仅当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
设向量OA、向量OB、向量OP是三个有共同起点的不共线向量
求证:它们的中点A、B、P共线、当且仅当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
设向量OA、向量OB、向量OP是三个有共同起点的不共线向量求证:它们的中点A、B、P共线、当且仅当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
分为充分性证明和必要性证明.
充分性证明,即当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB,来证明A、B、P共线.
必要性证明,即若A、B、P共线,则必存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
充分性:向量AB=向量OB-向量OA,向量AP=向量OP-向量OA=(m-1)向量OA+n向量OB=-n向量OA+n向量OB=n(向量OB-向量OA)
可见:向量AP=n向量AB,因此,A、B、P三点共线.
必要性:因为A、B、P共线,则可设向量AP=n向量AB
向量OP=向量OA+向量AP=向量OA+n向量AB=向量OA+n(向量OB-向量OA)=(1-n)向量OA+n向量OB
令m=1-n,则上式成为:向量OP=m向量OA+n向量OB,且m+n=1
证毕.